EM - MATEMATICA FINANCEIRA

EM - MATEMATICA FINANCEIRA

Professor Diminoi
MATEMATICA FINANCEIRA

Conceitos básicos
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um fluxo de caixa.

Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.
Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

Juros simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

Juros compostos: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver.
O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, seguida da especificação do período de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

Juros simples
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros.
Valor principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros.
Transformando em fórmula, temos:
J = P . 1 . n
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos

Exemplo
Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal, temos o montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número de períodos)
M = P . (1 + (i . n))

Exemplo
Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
Resolucao
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n na mesma unidade de tempo, ou seja, anos.
Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

JUROS SIMPLES - RESOLVIDOS
a) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
Resolucao
Se a taxa é 13% (ou seja, 0,13) ao trimestre, vamos dividi-la por 6 para encontrar a taxa a cada 15 dias (visto que um trimestre tem 6 períodos de 15 dias):
0.13 / 6 = 0.02167
Logo, para 4 meses e 15 dias, a taxa é 0.02167 x 9 = 0.195. Portanto:
J = 1200 x 0.195 = R$ 234,00

b) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Resolucao
J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$ 5.000,00

c) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias?
Resolucao
J = P.i.n
3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5
3500 = P . 0,030;
Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$ 116.666,67

d) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Resolucao
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3
Em ano = 8 meses

Juros compostos
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro, sendo portanto o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P.(1 + i).(1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P.(1 + i).(1 + i).(1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P . (1 + i)ⁿ
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros, basta diminuir o principal do montante ao final do período:
J = m - P

Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035 = 0,0149 e log 1,509 = 0,1788)
Resolução
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M =
Usando a fórmula M=P.(1+i)ⁿ, obtemos:
M = 6000.(1+0,035)¹² = 6000. (1,035)¹² = 9066,41
Portanto o montante é R$ 9.066,41.

Relação entre juros e progressões
No regime de juros simples, o montante é igual a:
M(n) = P + P . r . n

No regime de juros compostos, o montante é igual a:
M(n) = P . (1 + r)ⁿ

Portanto:
- em um regime de capitalização a juros simples, o saldo cresce em progressão aritmética.
- em um regime de capitalização a juros compostos, o saldo cresce em progressão geométrica.

Taxas equivalentes
Duas taxas i₁ e i₂ são equivalentes se, aplicadas ao mesmo capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.
- seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual i_a.
- o montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i _a)
- consideremos agora o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal i_m.
- o montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + i_m)¹² .
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.

Portanto, P(1 + i_a) = P(1 + i_m)¹²
Daí concluímos que 1 + i_a = (1 + i_m)¹²

Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

Exemplos
1) Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
Em um ano temos dois semestres, então teremos:
1 + i_a = (1 + i_s)²
1 + i_a = 1,08²
i_a = 0,1664 = 16,64% a.a.

2) Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
1 + i_a = (1 + i_m)¹²
1 + i_a = (1,005)¹²
i_a = 0,0617 = 6,17% a.a.

Taxas nominais
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.

Exemplo
Podemos ter uma taxa anual, mas com os juros sendo calculados e acrescidos mês a mês. São exemplos de taxas nominais:
- 1150% ao ano com capitalização mensal.
- 340% ao semestre com capitalização mensal.
- 300% ao ano com capitalização trimestral.

Exemplo
Uma taxa de 15% a.a., com capitalização mensal, terá 16.08% a.a. como taxa efetiva.
Resolucao
Como um ano tem 12 meses, a taxa mensal seria a taxa anual dividida por 12:
15/12 = 1,25
Nos 12 meses de capitalização, teríamos:
(1+1,25/100)¹²
1,0125¹²= 1,1608
16.08% a.a.

Taxas efetivas
A taxa efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 140% ao mês com capitalização mensal.
- 250% ao semestre com capitalização semestral.
- 1250% ao ano com capitalização anual.
A palavra efetiva, segundo o dicionário, significa real, verdadeira. Isto quer dizer que, para efeitos de cálculo, utilizamos a taxa efetiva, e não a taxa nominal.

Taxa Real
É a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

Fluxo de caixa
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise.
As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo:
Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.

Valor presente e valor futuro
Na fórmula M = P . (1 + i)ⁿ , o principal P é também conhecido como:
Valor Presente (PV = present value)
Montante = M
Valor Futuro (FV = future value).

Então essa fórmula pode ser escrita como:
FV = PV . (1 + i)ⁿ

Isolando PV na fórmula, temos:
PV = FV / (1+i)ⁿ

Exemplo
Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês?
Resolucao
FV = 1500 . (1 + 0,02)¹² = R$ 1.902,36

Continua ...