Professor Diminoi

FUNCAO QUADRATICA

Função quadrática ou função do 2º grau

Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a  0.

Alguns exemplos de funções quadráticas:
a) f(x) = 3x² - 4x  + 1
a = 3
b = - 4
c = 1

b) f(x) = x² -1
a = 1
b = 0
c = -1

c) f(x) = 2x² + 3x + 5
a = 2
b = 3
c = 5

d) f(x) = - x² + 8x
a = -1
b = 8
c = 0

e) f(x) = -4x²
a = - 4
b = 0
c = 0

Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a  0, é uma curva chamada parábola.
Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

Observe a tabela abaixo:
x                                 y
-3                                6
-2                                2
-1                                0
- 1/2                           - 1/4    
0                                 0
1                                 2
2                                 6

Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zeros ou raízes da função do 2º grau
Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a  0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos:
Observação:
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando
- chamado discriminante, a saber:

- quando Δ (delta) é positivo, há duas raízes reais e distintas;

- quando Δ  (delta) é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);

- quando Δ  (delta) é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V;  quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são 
Observe os gráficos:
Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax² + bx + c,  a  0, é o conjunto dos valores que y pode assumir.

Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0
a > 0
2ª quando a < 0
a < 0

Construção da parábola
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
1- O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2- Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3- O vértice V
Indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4- A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;
5- Para x = 0 , temos y = a.0² + b.0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal da função quadrática
Considere uma função quadrática y = f(x) = ax² + bx + c.
Vamos determinar os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivo.

Conforme o sinal do discriminante
Δ = b² - 4ac

Podemos ocorrer os seguintes casos:
1º)     > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1   x2). A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é  o indicado nos gráficos abaixo:
Quando a > 0
y > 0  (x < x₁ ou x > x₂)
y < 0  x₁ < x < x₂
Quando a < 0
y > 0   x₁ < x < x₂
y < 0   (x < x₁ ou x > x₂)   

2º)  Δ  = 0
quando a > 0
Quando a < 0
3º) Δ < 0
Quando a > 0
Quando a < 0

Continua ...