EF II - QUADRILATEROS

Professor Diminoi
QUADRILATEROS

Definição
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Quadrilátero ABCD
Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não consecutivos são chamados opostos.




Elementos
Na figura abaixo, temos:
Quadrilátero ABCD
Vértices:  A, B, C, e D.
Lados: 


Diagonais

Ângulos internos ou ângulos do 
quadrilátero ABCD: 


Observações
- Todo quadrilátero tem duas diagonais.
- O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja:
AB + BC + CD + DA. 

Côncavos e Convexos
Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.

Quadrilátero convexo
Quadrilátero côncavo
Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo
A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º.
Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.
Do triângulo ABD, temos :
a + b₁ + d₁ = 180º.      (1)

Do triângulo BCD, temos
c + b₂ + d₂ = 180º.       (2)

Adicionando (1) com (2), obtemos:
a + b₁ + d₁ + c + b₂ + d₂ = 180º + 180º
a + b₁ + d₁ + c + b₂ + d₂ = 360º
a + b + c + d = 360º

Observações:
1. Termos  uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo:
Si = (n - 2) . 180º, onde n é o número de lados do polígono.
2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.
Se = 360º

Paralelogramo
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

Exemplo

h é a altura do paralelogramo.

O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado centro de simetria.
Destacaremos a seguir alguns paralelogramos.

Retângulo
Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).

Exemplo


Losango
Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.

Exemplo


Quadrado
Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes.

Exemplo
É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente retângulo e losango.


Trapézio
É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos, chamados bases.

Exemplo





 

 

Denominamos trapezoide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos.

Trapézio retângulo
É aquele que apresenta dois ângulos retos.

Exemplo


Trapézio isósceles
É aquele em que os lados não paralelos são congruentes.

Exemplo


Trapézio escaleno
É aquele em que os lados não paralelos não são congruentes.

Exemplo:


Propriedades dos paralelogramos
1ª propriedade
Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
H:  ABCD é paralelogramo.
T:  

Demonstração:
Afirmativa



Justificativa
Segmentos de paralelas entre paralelas.
Segmentos de paralelas entre paralelas.

2ª propriedade
Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.
H: ABCD é paralelogramo.
T:  

Demonstração:
Afirmativa





Justificativa
Hipótese.
Hipótese.
Lado comum.
Caso L.L.L.

3ª propriedade
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
H:  ABCD  é paralelogramo
T: 

Demonstração
Afirmativa






Justificativa
ACé diagonal (2ª propriedade)
Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.
Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.


4ª propriedade
As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.
H: ABCD é paralelogramo.

Demonstração
Afirmativa






Justificativa
Ângulos alternos internos.
Lados opostos (1ª propriedade).
Ângulos alternos internos.
Caso A.L.A.
Lados correspondentes em triângulos congruentes.

Resumindo
Num paralelogramo:
- os lados opostos são congruentes;
- cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes;
- os ângulos opostos são congruentes;
- as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.

Propriedade caracteristica do retangulo
As diagonais de um retângulo são congruentes.
T: ABCD  é retângulo.
H: 
 

Continua ...