EM - GEOMETRIA ANALITICA – CIRCUNFERENCIA

Professor Diminoi
GEOMETRIA ANALITICA – CIRCUNFERENCIA

Circunferência
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
Equações da circunferência

Equação reduzida
Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(d_CP) é o raio dessa circunferência.

Então:
Portanto, (x - a)² + (y - b)² = r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r².

Equação geral
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

 

 
Exemplo
Vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
(x - 2)²  + (y + 3)² = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Determinação do centro e do raio da circunferência
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
- os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1;
- não deve existir o termo xy.

Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é:
x² + y² - 6x + 2y - 6 = 0.
Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições.
Assim:

1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente
x² - 6x + _ + y² + 2y + _ = 6

2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes
3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos
( x - 3 ) ² + ( y + 1 ) ² = 16

4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio


 

 

Posição de um ponto em relação a uma circunferência

Em relação à circunferência de equação:
(x - a)² + (y - b)² = r²

O ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:

a) P é exterior à circunferência


b) P pertence à circunferência


c) P é interior à circunferência


Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x - a)² + (y - b)² - r²:
- se (m - a)² + (n - b)² - r² > 0, então P é exterior à circunferência;
- se (m - a)² + (n - b)² - r² = 0, então P pertence à circunferência;
- se (m - a)² + (n - b)² - r² < 0, então P é interior à circunferência.

Posição de uma reta em relação a uma circunferência
Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência a de equação (x - a)² + (y - b)² = r², vamos examinar as posições relativas entre s e a:


Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência a: (x - a)² + (y - b)² = r², temos:
Assim:

Condições de tangência entre reta e circunferência
Dados uma circunferência a e um ponto P(x, y) do plano, temos:

a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P.
b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P.
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P.
Continua ...