Cinemática

Cinemática

Professor Diminoi

CINEMÁTICA

É a parte da Mecânica que estuda os movimentos sem que haja preocupação com suas causas e efeitos. Alguns conceitos de Cinemática são muito importantes para a correta compreensão de fenômenos físicos e pleno entendimento da forma de se construir o raciocínio necessário para a resolução de problemas.

Observação: cinemática  estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com a causa  deste movimento.

O movimento esta presente em toda a natureza: nos movimentos de translação e de rotação dos astros, nas massa de ar, nas marés, na migração de aves, entre inúmeros outros exemplos. A maioria das atividades humanas também está relacionada as movimento. Movimentos como o do leão fugindo dos búfalos bem como os movimentos dos búfalos afugentando o leão representado na figura abaixo.

Neste link  estudarmos CINEMÁTICA que é a parte da física que descreve os movimentos sem se preocupar com suas causas e consequências.

      

Trajetória/Trajeto

É o caminho descrito pelo móvel (nem sempre o trajeto para se ir de um ponto A  um ponto B e igual a distância em linha reta entre A a B). 

   

Observação: A Trajetória é uma linha imaginária que representa as sucessivas posições de o corpo ocupa ao longo do tempo.

No Sistema Internacional a velocidade e em metros por segundo (m/s) e o tempo em segundo (s).

Observação: para transformar m/s em km/h basta multiplicar o valor por 3,6 e para transformar k/h em m/s basta dividir o valor por 3,6.

Ponto material

É um corpo cujas dimensões pode  ser desprezada na resolução do problema (quando estudamos a velocidade da luz do Sol até chegar a Terra.

Posição de um corpo

É onde o corpo se encontra no momento em questão.

Referencial

É qualquer corpo que adotamos para comparar com outro. Na figura abaixo tomamos como referencial o homem sentado no morrinho ao lado da rodovia.

Corpo em movimento ou repouso

Para saber se um corpo esta em movimento ou em repouso é necessário adotarmos um referencial (observe o item anterior). Se a posição entre o ônibus e o homem estiver variando no decorrer do tempo, o ônibus esta em movimento em relação ao homem, assim, como o homem está em movimento em relação ao ônibus e aos passageiro. 

 

Também podemos dizer: o ônibus está em movimento em relação ao homem e em repouso em relação aos passageiros.

Observe a ilustração: na ilustração temos o 1 carro, 1 home, 1 passarinho e 2 árvores. Pergunta-se, quem esta em movimento? Quem está em repouso? Justifique sua resposta.

Espaço percorrido

É a distância percorrida pelo móvel ou seja, a posição final (S) menos a posição inicia (So).

 

MOVIMENTO UNIFORME (MU)

O Movimento Uniforme é qualquer movimento realizado por um corpo que percorre distâncias iguais em tempos iguais. No MU, o corpo não necessita estar se movimentando em linha reta, em círculos ou em qualquer outra formabasta que a sua velocidade escalar se mantenha a mesma por todo o tempo.

 

Um corpo está em movimento uniforme quando sua velocidade é constante, isso é não vaia no decorrer do tempo.  Isto é, Percorre distâncias iguais em intervalos de temos iguais.

 

MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)

É a mesma coisa que o MU, exceto pelo fato de que, obrigatóriamente, o trajeto percorrido pelo corpo deve ser uma linha reta.

Gráficos do Movimento Uniforme (MU)

 

VELOCIDADE MÉDIA

A velocidade média de um móvel pode ser interpretada como o valor da velocidade constante que um segundo móvel deveria manter para fazer o mesmo percurso no mesmo tempo que o móvel em estudo. Para calcular a velocidade média divide-se a distância percorrida pelo temo gasto.

Observação: no Sistema Internacional S.I a velocidade é em (m/s), o tempo em (s) e a distância em(m).

Vm = ΔS/Δt

Vm = velocidade média (m/s)

ΔS = distância percorrida (m)

Δt = tempo (s)

Sabemos que o conceito de deslocamento é a medida da distância entre duas posições ocupadas pelo corpo em movimento, sobre uma trajetória. Essa medida costuma ser obtida entre duas referências como, por exemplo, entre marcos quilométricos de uma estrada.

Observação:

- Transformar km/h em m/s (divide o valor por 3,6)

- Transformar m/s em km/h (multiplica o valor por 3,6)

A velocidade escalar instantânea

Representa a velocidade de um móvel num determinado instante de seu movimento.

S = So+ v. t

S = posição final (m)

So = posição inicial (m)

v = velocidade (m/s)

t = tempo (s)

Exemplo: para saber qual a velocidade média desenvolvida pelo carro entre as posição A e B use: V

m=ΔS/t

Portanto 

ΔS = B - A

ΔS = 100 - 0  

ΔS = 100

Bastas dividir 100m pelo tempo que é 5s e você terá a velocidade média que é: Vm = 20m/s.

Gráfico da Velocidade em Função do Tempo (velocidade mádia).

Movimento Progressivo ou Movimento a Favor da Trajetória

Um móvel está em movimento progressivo quando seu deslocamento tem sentido a favor da trajetória, isto é, se afasta da origem das posição. Nesse caso a velocidade é positiva.

Movimento Retrógrado ou Movimento Contrário a Trajetória

Um móvel está em movimento retrógrado quando seu deslocamento tem sentido contrário a trajetória, isto é, se aproxima da origem das posição. Nesse caso a velocidade é negativa.

Gráfico do Movimento Progressivo e Movimento Retrógrado

Observação: 

  • Quando a velocidade é crescente (positiva),  dizemos que o movimento é progressivo.
  • Quando a velocidade é decrescente (negativa) dizemos que o movimento é retardado.

Gráficos do Movimento Uniforme (MU)

 

QUESTÕES DE CINEMÁTICA - RESOLVIDAS

01) (UELONDRINA-PR) Em 1984, o navegador Amyr Klink atravessou o Oceano Atlântico em um barco a remo, percorrendo a distância de, aproximadamente, 7000 km em 100 dias.

Nessa tarefa, sua velocidade média foi, em km/h, igual a:

A) 1,4

B) 2,9

C) 6,0

D) 7,0

E) 70

Resolução:

Temos que 1 dia = 24 h, logo 100 dias = 2400h

Como Vm = ΔS/Δt, podemos dizer que Vm = 7000 km/ 2400h, então: Vm = 2,9 km/h

Alternativa: B

 

02) (MACKENZIE-SP) Um motorista deseja fazer uma viagem de 230 km em 2,5 horas. Se na primeira hora ele viajar com velocidade média de 80 km/h, a velocidade média no restante do percurso deve ser de:

A) 120 km/h

B) 110 km/h

C) 100 km/h

D) 90 km/h

E) 85 km/h

Resolução:

Vm = ΔS/Δt, logo para a primeira hora temos: ΔS = Vm . Δt

ΔS = 80 . 1, então: ΔS = 80 Km. Ainda falta percorrer 150 km em 1,5 h. Logo sua velocidade média deverá ser:

Vm = 150/1,5, que nos dá um resultado de: Vm = 100km/h

Alternativa: C

 

03) Uma composição ferroviária com 1 locomotiva e 14 vagões desloca-se à velocidade constante de 10 m/s. Tanto a locomotiva quanto cada vagão medem 12 m. Então, quanto tempo ela demorará para atravessar um viaduto com 200 m de comprimento?

Resolução:

O comprimento total do trem é 15 . 12 = 180 m.

Devemos levar em consideração além do comprimento do trem, a extensão da ponte do viaduto.

Nesse caso, esses dois valores devem ser somados:

ΔS = 180 + 200, logo ΔS = 380 m

O tempo necessário para que o trem atravesse a ponte será:

Δt = ΔS/Vm

Então: 

Δt = 380/10 = 38

O tempo necessário para o trem atravessar o viaduto será igual a 38 segundos.

 

04) Qual será a distância total percorrida por um automóvel que parte de um hotel, no km 78 de uma rodovia, leva os hóspedes até uma fazenda de gado, no km 127 dela, e depois retorna ao local de saída?

Resolução:

A distância total percorrida na ida é dada pela subtração da posição final pela posição inicial, logo: 127 - 78 = 49 km

Contando a ida e volta, temos: 49 x 2 = 98 km

 

05) (UNIFICADO-RJ) A nave espacial New Horizons foi lançada pela agência espacial NASA para estudar o planeta anão Plutão em janeiro de 2006. Em julho de 2015, a nave chegou muito próximo a Plutão e conseguiu enviar imagens de sua superfície. A distância estimada entre a Terra e a nave, quando ela estava bem próxima a Plutão, era de 32 unidades astronômicas (1 unidade astronômica = 150 milhões de quilômetros).

Se a velocidade da luz é de 300 mil quilômetros por segundo, a imagem recebida pelos observatórios terrestres levou, da New Horizons até a Terra, aproximadamente

A) 0,1 microssegundo

B) 1 hora

C) 4 horas e meia

D) 2 dias

E) zero segundos

Resolução:

Determinando a distância em quilômetros entre a Terra e Plutão, teremos:

32 UA x 150 .106 km = 4,8.109 km

Sabendo que a velocidade da luz é de 3.105 km/s, podemos utilizar a equação da velocidade média e determinar o tempo gasto pela luz.

V = Δs ÷ Δt

3.105 = 4,8.109 ÷ Δt

Δt = 4,8.109 ÷ 3.105

Δt = 1,6 . 104 s = 16000 s

Uma hora possui 3600 s, logo, 16000 s divididos por 3600 s resultam em 4,4 h, aproximadamente 4,5 h.

Alternativa: C

 

06) (UEFS) Pela experiência cotidiana, sabe-se que o movimento representa uma mudança contínua na posição de um corpo em relação a um dado referencial. A posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo z varia no tempo, de acordo com a expressão z(t) = 5t3 – 3t, em que z está em metros e t, em segundos.

Com base nessas informações, analise as afirmativas e marque com V as verdadeiras e com F as falsas.

(  ) O movimento da partícula é retilíneo e uniformemente acelerado.

(  ) A partícula apresenta um movimento progressivo em toda sua trajetória.

(  ) A velocidade média da partícula entre os instantes t = 1,0 s e t = 2,0 s é igual a 32,0m/s.

(  ) Em t = 0s e em, aproximadamente, t = 0,77s, a partícula passa pela origem da sua trajetória.

A alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo, é a

A) F V V F

B) F V F V

C) F F V V

D) V V F F

E) V F F V

Resolução:

Antes de analisar as afirmações, devemos notar que:

Ao dividir todos os termos da equação pelo tempo, temos:

v = 5t2 – 3

Isso revela que a velocidade pode ter valores positivos ou negativos para diferentes instantes de tempo, o que indica a possibilidade de inversão de sentido da velocidade.

Ao dividirmos os termos da equação da velocidade pelo tempo, temos:

a = 5.t – (3/t)

Isso mostra que a aceleração está em função do tempo. Portanto, as afirmações são:

 

Falsa. O movimento possui aceleração variável;

Falsa. A velocidade muda de sentindo, sendo assim, o movimento não será progressivo em toda a sua trajetória;

Verdadeira. Aplicando-se os valores 1 s e 2 s na função da posição em função do tempo, os resultados serão, respectivamente, 2 m e 34 m. Assim, a velocidade média será:

V = Δs ÷ Δt

V = (34 – 2) ÷ (2 – 1)

V = 32 m/s

Verdadeira. Aplicando-se t = 0 s, o resultado final será nulo. Já para t = 0,77 s, a posição indicada será de, aproximadamente, 0,03 m.

Alternativa: C

 

07) Analise as afirmações a respeito das características do movimento uniforme.

I) O movimento dito progressivo é aquele que ocorre a favor do sentido positivo da trajetória.

II) O gráfico da função horária da posição para o movimento retilíneo uniforme sempre é uma reta crescente.

III) Se o movimento for retrógrado, o gráfico da posição em função do tempo será uma reta crescente.

IV) O coeficiente angular da reta do gráfico da posição versus o tempo é igual à velocidade do móvel.

É verdadeiro o que se diz em:

A) I e II

B) I, III e IV

C) I, II e IV

D) II e IV

E) II e III

Resolução:

I) Verdadeira: O movimento dito progressivo realmente é aquele que ocorre a favor do sentido positivo da trajetória.

II) Falsa: Se o movimento for retrógrado, a velocidade será negativa e, assim, a reta do gráfico da função horária da posição para o movimento uniforme será decrescente.

III) Falsa. O movimento retrógrado apresenta velocidade negativa, logo, o gráfico é decrescente.

IV) Verdadeira. Em um gráfico de espaço versus tempo, a tangente do ângulo formado pela reta é dada pela razão Δs ÷ Δt, razão essa que determina a velocidade do móvel.

Alternativa: C

 

08) Um móvel em uma rodovia sai da posição 18 km e anda de acordo com o sentido positivo da trajetória com velocidade constante de 30 km/h. Outro móvel sai da posição 2 km e anda no sentido positivo da trajetória com velocidade constante de 50 km/h.

Determine o ponto onde os dois móveis se encontrarão.

A) 30 km

B) 38 km

C) 40 km

D) 42 km

E) 50 km

Resolução:

Escrevendo a função horária da posição para cada um dos móveis, temos:

S1 = 18 + 30.t

S2 = 2 + 50.t

No momento do encontro, as posições dos móveis serão as mesmas, sendo assim, igualando as funções acima, teremos:

S1 = S2

18 + 30.t = 2 + 50.t

20.t = 16

t = 0,8 s

O tempo para o encontro é de 0,8 s. Assim, a posição de encontro para os móveis é:

S1 = 18 + 30.t = 18 + 30.0,8 = 18 + 24 = 42 km

S2 = 2 + 50.t = 2 + 50.0,8 = 2+ 40 = 42 km

Alternativa: D

 

09) Imagine que um paraquedista saltará de uma aeronave que se movimenta em uma trajetória retilínea, horizontal e para a direita.

Ao saltar e deixar o movimento acontecer naturalmente, qual será a trajetória do paraquedista até chegar ao chão?

A) A trajetória do paraquedista será retilínea, vertical e para baixo.

B) A trajetória do paraquedista será uma reta, na diagonal, para baixo e para a esquerda.

C) A trajetória do paraquedista será uma reta, na diagonal, para baixo e para a direita.

D) A trajetória do paraquedista será uma curva para baixo e para a esquerda.

E) A trajetória do paraquedista será uma curva para baixo e para a direita.

Resolução:

O movimento do paraquedista, por inércia, acompanha o da aeronave, portanto, seu movimento será para a direita. A queda do paraquedista é composta por duas velocidades: uma na vertical e para baixo e outra na horizontal para a direita. Sendo assim, o movimento resultante é uma curva para a direita.

Alternativa: E

 

10) A respeito da ideia de referencial, marque a alternativa correta:

A) O Sol, por ter uma massa correspondente a 98% de toda a massa do sistema solar, deve ser sempre considerado o referencial para quaisquer fenômenos.

B) Os fenômenos devem sempre ser analisados a partir de um referencial parado.

C) Referencial é o corpo em movimento retilíneo uniforme a partir do qual se analisam os movimentos.

D) Referencial é o corpo a partir do qual os fenômenos são analisados.

E) O movimento e o repouso são absolutos e não dependem de um referencial.

Resolução:

A definição de referencial mostra que ele é o corpo a partir do qual as análises são feitas. É o lugar do observador, aquele que descreve o fenômeno da forma como vê.

Alternativa: D

 

11) Um professor de Física, durante uma de suas aulas, perguntou aos alunos: “Por que podemos dizer que estamos todos em movimento mesmo que sentados em nossas carteiras?” Ao dar a resposta correta, um dos alunos disse:

A) Porque o Sol sempre é o referencial adotado, uma vez que é o corpo mais massivo do sistema solar; então, estamos executando o movimento de translação com a Terra.

B) Porque se adotarmos um referencial no espaço, como a Lua, a Terra estará em movimento e nós nos movimentamos com o planeta.

C) Porque a Terra executa um movimento de translação ao redor de seu próprio eixo.D) Porque nada pode permanecer totalmente parado.

E) n.d.a.

Resolução:

O movimento e o repouso são conceitos relativos, pois dependem de um referencial adotado. Assim, se um corpo fora da Terra é adotado como referencial, a Terra executa, no mínimo, dois movimentos (rotação e translação), e nós nos movimentamos com ela.

Alternativa: B

 

12) A respeito dos conceitos de movimento, repouso, trajetória e referencial, marque a alternativa correta.

A) A trajetória é o caminho feito por um corpo independentemente do referencial adotado.

B) Movimento e repouso são conceitos relativos, pois dependem da trajetória adotada pelo móvel.

C) O referencial é o corpo a partir do qual as observações dos fenômenos são feitas. O Sol é considerado um referencial privilegiado porque é o corpo mais massivo do sistema solar.

D) A trajetória é o caminho executado por um móvel em relação a um referencial adotado.

E) Mesmo que a Terra seja tomada como referencial, nunca poderemos dizer que os prédios e as demais construções estão em repouso.

Alternativa: D

 

13) (MACK-SP) Em um mesmo plano vertical, perpendicular à rua, temos os segmentos de reta AB e PQ, paralelos entre si. Um ônibus se desloca com velocidade constante de módulo v1, em relação à rua, ao longo de AB, no sentido de A para B, enquanto um passageiro se desloca no interior do ônibus, com velocidade constante de módulo v2, em relação ao veículo, ao longo de PQ no sentido de P para Q.

 

Sendo v1 > v2, o módulo da velocidade do passageiro em relação ao ponto B da rua é:

A) v1 + v2

B) v1 - v2

C) v2 + v1

D) v1

E) v2

Resolução:

Em relação ao ponto adotado como referencial, existem duas velocidades: v1, que é a velocidade do ônibus para a direita, e v2, que é a velocidade do passageiro para a esquerda. Como a velocidade do ônibus é maior, podemos dizer que a velocidade resultante (vR) do passageiro é:

vR = v1 – v2

Alternativa: B

 

14) Um móvel com velocidade constante percorre uma trajetória retilínea à qual se fixou um eixo de coordenadas. Sabe-se que no instante t0 = 0, a posição do móvel é x0 = 500m e, no instante t = 20s, a posição é x = 200m.

Determine:

a. A velocidade do móvel.
b. A função da posição.
c. A posição nos instantes t = 1s e t = 15s.
d. O instante em que ele passa pela origem.

Resolução:

(a) A velocidade do móvel

v = Δs/Δt

v = (200-500)/(20-0)

v = -300/20
v = -15m/s  (velocidade negativa implica em movimento retrógrado)

(b)  função da posição

x = x0 + v.t

x = 500 - 15t

A posição nos instantes t = 1s e t = 15s

(c1) Para t = 1s temos:

x = 500 - 15.1

x = 500 – 15

x = 485m

(c2) Para t = 15s temos:

x = 500 – 15.15

x = 500 – 225

x = 275m

(d) O instante em que ele passa pela origem para x = 0 temos que:

0 = 500 – 15.t

15.t = 500

t = 500/15

t = 33,3 s em valor aproximado

 

15) Dois carros A e B encontram-se sobre uma mesma pista retilínea com velocidades constantes no qual a função horária das posições de ambos para um mesmo instante são dadas a seguir: xA = 200 + 20.t e xB = 100 + 40.t.

Com base nessas informações, responda as questões abaixo.

(a) É possível que o móvel B ultrapasse o móvel A? Justifique.
(b) Determine o instante em que o móvel B alcançará o móvel A, caso este alcance aconteça.

Resolução:

(a) Sim, pois a posição do móvel B é anterior a de A, e B possui uma velocidade constante maior que a de A; estando eles em uma mesma trajetória retilínea dentro de um intervalo de tempo Δt, B irá passar A.

(b) x= xB

200 + 20.t = 100 + 40.t

t - 20.t = 200 - 100

20.t = 100

t = 100/20

t = 5s

 

16) A função horária do espaço de um carro em movimento retilíneo uniforme é dada pela seguinte expressão: x = 100 + 8.t. Determine em que instante esse móvel passará pela posição 260m.

Resolução:

x = 100 + 8.t

260 = 100 + 8.t

8.t = 160

t = 160/8

t = 20s

 

17) O gráfico a seguir representa a função horária do espaço de um móvel em trajetória retilínea e em movimento uniforme.

Com base nele, determine a velocidade e a função horária do espaço deste móvel.

Resolução:

v = Δs/Δt

v = (250 – 50)/(10 - 0)

v = 200/10

v = 20m/s – velocidade

x = xo+ v.t

x = 50 + 20.t

 

18) Um móvel em M.R.U gasta 10h para percorrer 1100 km com velocidade constante. Qual a distância percorrida após 3 horas da partida?

Resolução:

V = S/t

V = 1100/10

V = 110km/h

110 = S/3

S = 330 km.

 

19) Determine o tempo necessário para que os móveis da figura a seguir se encontrem.

A) 2h

B) 3h

C) 4h

D) 5h

E) 6h

Resolução:

Escrevendo a função horária da posição do movimento uniforme para os corpos A e B, temos:

SA = S0 + v.t → SA = 0 + 30.t → SA = 30.t

SB = S0 – v.t → SB = 400 – 50.t

Sabendo que no momento do encontro SA = SB, temos:

SA = SB

30.t = 400 – 50.t

50.t + 30.t = 400

80.t = 400

t = 400
    80

t = 5 h

Alternativa: D


20) A partir do gráfico abaixo, escreva a função horária da posição para o móvel que executa movimento uniforme.

A) S = 50 + 5.t

B) S = 50 + 15.t

C) S = 50 – 5.t

D) S = 50 + 10.t

E) S =

Resolução:

Analisando o gráfico, temos:

Posição inicial: S0 = 50 m;

Tempo até atingir a posição 0: t = 10 s;

Tipo de movimento: Reta decrescente indica movimento retrógrado, logo, a velocidade é negativa.

A partir da definição de velocidade média, podemos determinar a velocidade do móvel:

v = Δs
     Δt

v = (0 – 50)
     10

v = - 5m/s

De posse da velocidade, podemos determinar a função horária da posição para esse móvel.

S = S0 + v.t

S = 50 – 5.t

Alternativa: C

 

21) Um móvel com velocidade constante igual a 20 m/s parte da posição 5 m de uma reta numerada e anda de acordo com o sentido positivo da reta. Determine a posição do móvel após 15 s de movimento.

A) 105 m

D) 205 m

C) 305 m

D) 405 m

E) 505 m

Resolução:

A partir dos dados fornecidos, temos:

v = 20 m/s

S0 = 5m

t = 15s

A partir da função horária da posição para o movimento uniforme, temos:

S = S0 + v.t

S = 5 + 20.15

S = 5 + 300

S = 305 m

Alternativa: C

 

22) Um homem sai da posição 15 m de uma pista de caminhada e anda até a posição 875 m mantendo uma velocidade constante de 2 m/s.

Sabendo disso, determine o tempo gasto para completar a caminhada.

A) 430 s

B) 320 s

C) 450 s

D) 630 s

E) 530 s

Resolução:

Do enunciado da questão, temos:

S0 = 15 m

S = 875 m

v = 2 m/s

A partir da função horária da posição para o movimento uniforme, podemos escrever que:

S = S0 + v.t

875 = 15 + 2.t

875 – 15 = 2.t

2.t = 860

t = 430 s

Alternativa: A

23) (AFA) Considere dois veículos deslocando-se em sentidos opostos em uma mesma rodovia. Um veículo tem velocidade escalar de 72 km/h e o outro de 108 km/h, em módulo. Um passageiro, viajando no veículo mais lento, resolve cronometrar o tempo decorrido até que os veículos se cruzem e encontra o intervalo de 30 segundos.

A distância, em km, de separação dos veículos, no início da cronometragem, era de:

A) 0,5 km

B) 1,5 km

C) 2 km

D) 2,5 km

Resolução:

Adotando que o veículo mais lento executa seu movimento de acordo com o sentido positivo da trajetória e sendo x a distância que separa os dois veículos no início da cronometragem, temos:

Veículo mais lento:

Velocidade: v = 72 km/h ÷ 3,6 = 20 m/s (Multiplicamos por 3,6 passar km/h para m/s)

Função horária da posição: S = S0 + v.t → S = 0 + 20.t → S = 20.t

Veículo mais rápido:

Velocidade:

v = 108 Km/h ÷ 3,6 = 30 m/s

Função horária da posição:

S' = S'0 + v.t → S' = x – 30.t

No momento do encontro dos móveis, as posições S e S' são iguais:

S = S'

20.t = x – 30.t

20.t + 30.t = x

x = 50.t

Sabendo que o encontro dos móveis ocorre em 30 s, temos:

x = 50.30

x = 1500 m = 1,5 km

Alternativa: B

 

MOVIMENTO UNIFORME – QUESTÕES RESOLVIDAS

01) Um móvel com velocidade constante percorre uma trajetória retilínea à qual se fixou um eixo de coordenadas. Sabe-se que no instante t0 = 0, a posição do móvel é x0 = 500m e, no instante t = 20s, a posição é x = 200m. Determine:

a)  A velocidade do móvel.

b) A função da posição.

c)  A posição nos instantes t = 1s e t = 15s.

d) O instante em que ele passa pela origem.

Resolução:

(a) A velocidade do móvel

v = Δs/Δt

v = (200-500)/(20-0)

v = -300/20

v = -15m/s  (velocidade negativa implica em movimento retrógrado)

 

(b) A função da posição

x = x0 + v.t

x = 500 - 15t

(c) A posição nos instantes t = 1s e t = 15s

Para t = 1s temos:

x = 500 - 15.1

x = 500 – 15

x = 485m

Para t = 15s temos:

x = 500 – 15.15

x = 500 – 225

x = 275m

(d) O instante em que ele passa pela origem

para x = 0 temos que:

0 = 500 – 15.t

15.t = 500

t = 500/15

t = 33,3 s em valor aproximado.

 

02) Dois carros A e B encontram-se sobre uma mesma pista retilínea com velocidades constantes no qual a função horária das posições de ambos para um mesmo instante são dadas a seguir: xA = 200 + 20.t e xB = 100 + 40.t. Com base nessas informações, responda as questões abaixo.

a) É possível que o móvel B ultrapasse o móvel A? Justifique.

b) Determine o instante em que o móvel B alcançará o móvel A, caso este alcance aconteça.

Resolução:

(a) Sim, pois a posição do móvel B é anterior a de A, e B possui uma velocidade constante maior que a de A; estando eles em uma mesma trajetória retilínea dentro de um intervalo de tempo Δt, B irá passar A.

(b) xA = xB

200 + 20.t = 100 + 40.t

40.t - 20.t = 200 - 100

20.t = 100

t = 100/20

t = 5s

03) A função horária do espaço de um carro em movimento retilíneo uniforme é dada pela seguinte expressão: x = 100 + 8.t. Determine em que instante esse móvel passará pela posição 260m.

Resolução:

x = 100 + 8.t

260 = 100 + 8.t

8.t = 160

t = 160/8

t = 20s

 

04) O gráfico a seguir representa a função horária do espaço de um móvel em trajetória retilínea e em movimento uniforme.

Com base nele, determine a velocidade e a função horária do espaço deste móvel.

Resolução:

v = Δs/Δt

v = (250 – 50)/(10 - 0)

v = 200/10

v = 20m/s – velocidade

x = xo+ v.t

x = 50 + 20.t

 

05) Um móvel em M.R.U gasta 10h para percorrer 1100 km com velocidade constante. Qual a distância percorrida após 3 horas da partida?

Resolução:

V = S/t

V = 1100/10

V = 110km/h

110 = S/3

S = 330 km.

 

06) (FMTM MG) Partículas ejetadas de núcleos são observadas no laboratório pela impressão que deixam nas chapas fotográficas de seus detectores. Uma partícula, movendo-se à velocidade de 0,995 c, produz um rastro de 1,25 mm. O tempo correspondente ao rastro deixado é, em segundos, aproximadamente igual a:

Dado: c = 3 × 105 km/s = 3 x 108 m/s

(A) 5 × 10-11.

(B) 2 × 10-11.

(C) 6 × 10-12.

(D) 4 × 10-12.

(E) 3 × 10-12.

Resolução:

Como a velocidade (v) da partícula é de 0,995c, temos que v = 0,995 x 3 . 108= 2,99 x 108 m/s. Podemos considerar a velocidade da partícula constante. Logo,

v = d/t

2,99 x 108 = 1,25 x 10-3 / t.

Logo t = 1,25 x 10-3 / 2,99 x 108

t = 0,4 x 10-11s = 4 x 10-12s

Letra: D

 

07) (Fatec SP) Um carro faz uma viagem de São Paulo ao Rio. Os primeiros 250 km são percorridos com uma velocidade média de 100 km/h. Após uma parada de 30 minutos para um lanche, a viagem é retomada, e os 150 km restantes são percorridos com velocidade média de 75 km/h.

A velocidade média da viagem completa foi, em km/h:

(A) 60

(B)70

(C) 80

(D) 90

(E) 100

Resolução:

Sabemos, pelos dados do exercício, que a distância total entre São Paulo e Rio é:

d = 250 + 150

d = 400 km.

Para os primeiros 250 km temos:

100 = 250/t1. Logo t1

= 250/100

t = 2,5h

Para os 150 km restantes temos:

75 = 150/t2

t2 = 150/75. Logo t2 = 2 h.

Chamando o tempo em que o carro ficou parado para o lanche de tp, temos:

tp = 30 min = 0,5 h. O tempo total (T) de viagem será:

T = t1 + t2 + tp.

Então:

T = 2,5 + 2 + 0,5 = 5 h.

A velocidade média em toda a viagem então será:

Vm = 400/5

Vm = 80 km/h

Letra: C

 

08) Ao passar pelo km 115 de uma rodovia, o motorista lê este anúncio: “ Posto de abastecimento e restaurante a 12 minutos”. Se esse posto de serviços está localizado no km 130, qual é a velocidade média prevista para que se faça esse percurso?

Resolução:

A variação de tempo será :

Δt = 12 min = 12/60 = 1/5h = 0,2h

ΔS= 130 – 115 = 15 km

temos que:

Vm = ΔS/Δt

logo podemos ver que:

Vm = 15/0,2

logo

Vm = 75km/h

 

09) Deduza a função horária do movimento uniforme.

Resolução:

Inicialmente vamos considerar a fórmula da velocidade média:

v = ΔS/Δt = S – Si / t – ti

Considerando ti = 0. Logo:

v = S – Si / t 

Multiplicando ambos os lados por t, obtemos:

vt = S- Si

logo temos:

S = Si + vt

Que é a função horária dos espaços do movimento uniforme.

 

MOVIMENTO UNIFORME - COM GABARITO

01) (UFPE) A escada rolante de uma galeria comercial liga os pontos A e B em pavimentos consecutivos a uma velocidade ascendente constante de 0,5 m/s, conforme mostrado na figura.

Se uma pessoa consegue descer contra o sentido de movimento da escada e leva 10 segundos para ir de B até A, pode-se afirmar que sua velocidade, em relação à escada, foi em m/s igual a:

(A) 0,0

(B) 0,5

(C) 1,0

(D) 1,5

(E) 2,0

 

02) (PUC-MG) Um homem, caminhando na praia, deseja calcular sua velocidade. Para isso, ele conta o número de passadas que dá em um minuto, contando uma unidade a cada vez que o pé direito toca o solo, e conclui que são 50passadas por minuto. A seguir, ele mede a distância entre duas posições sucessivas do seu pé direito e encontra o equivalente a seis pés. Sabendo que três pés correspondem a um metro, sua velocidade, suposta constante, é:

(A) 3 km/h

(B) 4,5 km/h

(C) 6 km/h

(D) 9 km/h

(E) 10 km/h

 

03) (PUC-MG)Quando navega a favor da correnteza, um barco desenvolve 40 km/h; navegando contra, faz 30 km/h. Para ir de A até B, pontos situados na mesma margem, gasta três horas menos que na volta. A distância entre Ae B é de:

(A) 360 km

(B) 420 km

(C) 240 km

(D) 300 km

(E) 180 km

 

04) (FMU) Você vai para a faculdade com a velocidade média de 30 km/h e volta com a velocidade média de 20 km/h. Para ir e voltar gastando o mesmo tempo, sua velocidade média deveria ser

(A) 25 km/h

(B) 50 km/h

(C) 24 km/h

(D) 10 km/h

(E) 48 km/h

 

05) (PUC-PR) Um automóvel percorre um certo trecho com velocidade escalar média de 40km/h e depois volta pelo mesmo trecho com velocidade escalar média de60 km/h. Sua velocidade escalar média no trajeto de ida e volta foi, em km/h, igual a:

(A) 48

(B) zero

(C) 40

(D) 50

(E) 60

 

06) (PUC-PR) Um automóvel parte de Curitiba com destino a Cascavel com velocidade de 60km/h. 20 minutos depois parte outro automóvel de Curitiba com o mesmo destino à velocidade 80 km/h.

Depois de quanto tempo o 2 automóvel alcançará o 1?

(A) 60 min

(B) 70 min

(C) 80 min

(D) 90 min

(E) 56 min

 

07) (UFPE) um atleta caminha com uma velocidade de 150 passos por minuto. Se ele percorrer 7,20 km em uma hora, com passos de mesmo tamanho, qual o comprimento de cada passo?

Aceleração da gravidade: 10 m/s2

Densidade da água: 1,0 x 103 kg/m3

Constante universal dos gases: R = 8,31 J/mol.K

Pressão atmosférica: 1,0 x 105 Pa

(A) 40,0 cm

(B) 60,0 cm

(C) 80,0 cm

(D) 100 cm

(E) 120 cm

 

08) (UFCE) Dois veículos, A e B, se movem ao longo de uma estrada horizontal e reta e suas posições variam com o tempo conforme o gráfico mostrado abaixo.

Sobre o movimento de A e B podemos afirmar:

(A) no instante de tempo t = t_o as velocidades dos dois veículos são iguais;

(B) A e B percorrem uma mesma distância entre os instantes t = 0 e t =t_o ;

(C) no instante de tempo t = t_o A e B encontram-se igualmente afastados da posição x = 0;

(D) no instante de tempo t = t_o a aceleração de A é maior do que a aceleração de B;

(E) em qualquer instante de tempo a velocidade de B é maior do que a velocidade de A.

 

09) (UERJ) Uma estrada recém-asfaltada entre duas cidades é percorrida de carro, durante uma hora e meia, sem parada.

A extensão do percurso entre as cidades é de, aproximadamente:

(A)103 m

(B)104 m

(C)105 m

(D)106 m

 

10) (UFRRJ) “Maurice Greene, o homem mais rápido do Planeta”.

Ex-vendedor de hambúrguer bate o recorde mundial dos 100 metros em Atenas.

Não faz muito tempo, Maurice Greene era um dos muitos adolescentes americanos que reforçavam o orçamento familiar vendendo hambúrgueres em Kansas City, sua cidade. Mas ele já corria desde os 8 anos e não demorou a descobrir sua verdadeira vocação. Trocou a lanchonete pela pista de atletismo e ontem se tornou o homem mais rápido do planeta ao vencer os 100 metros do meeting de Atenas, na Grécia, estabelecendo um novo recorde mundial para a prova. Greene, de 24 anos, correu a distância em 9s 79, superando em cinco centésimos de segundo a marca anterior (9s 84), que pertencia ao canadense Dono Van Bailey desde a final olímpica de Atlanta, em julho de 1996. Jamais um recordista conseguira tal diferença desde a adoção da cronometragem eletrônica, em 1978.

GLOBO: 17 de junho de 1999.

Com base no texto acima, pode-se afirmar que a velocidade média do homem mais rápido do planeta é de aproximadamente

(A) 10,21 m/s.

(B) 10,58 m/s.

(C) 10,62 m/s.

(D) 10,40 m/s.

(E) 10,96 m/s.

GABARITO

01D – 02C – 03A – 04C – 05A – 06C – 07C – 08C -  09C - 10A -

 

CASOS ESPECIAIS: VELOCIDADE RELATIVA

Em caso de colisão frontal, a velocidade relativa será a soma das velocidades de cada um dos móveis

 

A velocidade relativa é o valor único de velocidade que representa o movimento relativo entre dois móveis. Ela pode ser classificada como de afastamento ou de aproximação e o sentido de movimento dos móveis pode ser igual ou não.

Imagine que, durante uma viagem, você esteja em um carro que se movimenta com velocidade constante de 100 km/h. Alguns quilômetros à sua frente, também com velocidade constante, está um caminhão a 60 km/h. Logicamente, o carro alcançará o caminhão, pois possui velocidade maior, mas a pergunta é: com qual velocidade o carro se aproximará do caminhão? Não é complicado perceber que a taxa de aproximação do carro em relação ao caminhão é de 40 km/h, justamente a diferença entre as velocidades dos veículos. O valor 40 km/h representa a velocidade relativa entre o carro e o caminhão.

Velocidade relativa de aproximação

A aproximação entre dois móveis pode ocorrer quando eles se movimentam no mesmo sentido ou em sentidos opostos, quando um objeto alcança o outro.

Movimento no mesmo sentido

Quando dois móveis movimentam-se no mesmo sentido, só haverá aproximação se aquele que vem atrás possuir velocidade maior. A velocidade relativa será dada pela subtração das velocidades, a maior menos a menor.

 Vreal = V1 – V2

(V1 > V2)

Movimento em sentido oposto

Quando dois móveis estão em sentidos opostos, um em direção ao outro, a velocidade relativa de aproximação será dada pela soma das velocidades de cada um. Em uma colisão frontal em uma alta estrada, se cada um dos veículos participantes da colisão estiver a 100 km/h, os estragos da colisão serão referentes a 200 km/h!

 Vreal = V1 + V2

Velocidade relativa de afastamento

Assim como no caso da aproximação, o afastamento ocorrerá com móveis que se movimentam no mesmo sentido ou em sentidos opostos.

Movimento no mesmo sentido

Caso dois móveis movimentem-se no mesmo sentido e o móvel à frente esteja desenvolvendo maior velocidade, o movimento relativo entre eles será de afastamento. Para esse caso, a velocidade relativa de afastamento é calculada pela subtração da maior velocidade pela menor.

Vreal = V2 – V1

(V2 > V1)

Movimento em sentido oposto

No caso de afastamento em que os móveis movimentam-se em sentidos opostos, a velocidade relativa de afastamento é calculada pela soma das velocidades de cada móvel.

Vreal = V1 + V2

Observação:

Repare que tanto na determinação da velocidade relativa de afastamento quanto na determinação da velocidade relativa de aproximação ocorre soma quando os sentidos das velocidades são opostos e subtração quando os sentidos são iguais.

RESOLVIDOS – VELOCIDADE RELATIVA

 

01) Dois automóveis, A e B, movem-se em movimento uniforme e no mesmo sentido. Suas velocidades escalares têm módulos respectivamente iguais a 15 m/s e 10 m/s. No instante t = 0, os automóveis encontram-se nas posições indicadas abaixo.

Determine: 
a)
o instante em que A alcança B;

Resolução:

Antes de começarmos a resolver o problema temos que encontrar as funções horárias dos espaços de cada automóvel. 
Assim, 

SA = S0A + vA.t e SB = S0B + vB.t 

SA = 0 + 15.t e SB = 100 + 10.t

Encontrada as funções horárias, temos que: 
para determinar o instante que A encontra B basta igualar as funções SA = SB. 

0 + 15.t = 100 + 10.t 

15t – 10t = 100 

5t = 100

t = 20 s.

b) a que distância da posição inicial de A ocorre o encontro. 
Para encontrarmos a distância com relação ao ponto A que ocorre o encontro, basta substituir o valor do tempo, encontrado no item anterior na função horária do espaço do automóvel A.

Resolução:

SA = 0 + 15 . 20 

SA = 300 m

Portanto, a posição do encontro fica a 300 m da posição inicial A.


02)
Dois carros movem-se em movimento uniforme, um de encontro ao outro. Suas velocidades escalarem têm módulos 12 m/s e 8 m/s, respectivamente. No instante t = 0 os carros ocupam as posições indicadas na figura:

a) Escreva as funções horárias do espaço de A e B. 
As funções horárias de A e B são:

Resolução:

SA = 0 + 12.t

SB = 200 – 8t. 

Aqui a velocidade de B é – 8 porque o carro move-se no sentido contrário ao da orientação da trajetória.

b) Determine o instante do encontro:

Resolução:

Igualando as funções horárias dos espaços temos:

SA = SB 
12.t = 200 – 8.t 
12.t + 8t = 200 
20.t = 200 
t = 10 s

Portanto, o instante em que os carros se encontram é 10 s.

Resolução:

c) A que distância da posição inicial A ocorre o encontro? 
Para determinarmos a distância com relação ao ponto A que ocorre o encontro, basta substituir o valor do tempo na equação do espaço do carro A.

SA = 12.t

SA = 12.10 

Temos assim que os carros se encontram a 120 m da posição inicial ASA = 120 m

 

03) Um joão-de-barro voa de seu ninho até um lago, que fica a 100 m de distância, a fim de conseguir barro para finalizar a sua casa. Supondo que o pássaro manteve uma velocidade constante em todo o trajeto de 36 km/h e que, na volta ao ninho, enfrentou um vento contrário de 2 m/s, determine o tempo total que foi gasto para que o pequeno animal fizesse o trajeto completo. Desconsidere o tempo gasto pelo joão-de-barro para conseguir o barro.

(A) 30 s

(B) 20,2 s

(C) 15 s

(D) 25,4 s

(E) 22,5 s

Resolução:

Determinaremos o tempo gasto pelo pássaro na ida e na volta.

⇒ Ida: Dividindo a velocidade 36 km/h por 3,6 para transformar a unidade de km/h para m/s, encontraremos 10 m/s, logo:

VM =   Δs / Δtida

10 =   100 / Δtida

Δtida = 10 s

⇒ Volta: Como o pássaro enfrenta vento contrário de 2 m/s, sua velocidade no percurso cai para 8 m/s, portanto:

VM = Δs / Δtvolta

8 =  100 /   Δtvolta

Δtvolta = 12,5 s

Logo, o tempo toral é:

T = Δtida + Δtvolta = 10 + 12,5 = 22,5 s

Alternativa: E

 

04) A correnteza de um rio possui velocidade de 4m/s no sentido indicado na figura abaixo. Um nadador percorrerá a diagonal AD do quadrado ABCD em razão da composição de seu movimento com o movimento da correnteza e, para isso, ele deve manter uma velocidade constante de 3 m/s no sentido AB. Sendo assim, determine o valor aproximado do tempo que será gasto pelo nadador no percurso AD.

Adote: √2 = 1,4

(A) 37,7 min

(B) 42,8 min

(C) 30 min

(D) 35,5 min

(E) 40 min

Resolução:

O nadador percorrerá a diagonal AD por causa da composição de sua velocidade com a velocidade da correnteza. Sabendo que o ângulo entre os percursos AB e AC é de 90°, temos:

Distância resultante AD:

DAD2 = DAB2 + DAC2

DAD2 = 82 + 82

DAD2 = 64+64

DAD2 = 128

DAD = √128

DAD ≈11,3 km = 11300 m

Velocidade resultante entre AD:

VAD2 = Vnadador2 + Vcorrenteza2

VAD2 = 32 + 42

VAD2 = 9 + 16

VAD = √25

VAD = 5 m/s

Fazendo a velocidade média para o trecho AD, temos:

VAD = DAD → 5 = 11300

Δt = 2260 s  ≈ 37,7 min

            Δt                  Δt   

Alternativa; A

 

05) (UFMS) Um carro move-se com velocidade constante de 60 km/h. Começa a chover e o motorista observa que as gotas de água da chuva caem formando um ângulo de 30° com a vertical. Considerando que, em relação à Terra, as gotas caem verticalmente, qual a velocidade em que as gotas de água caem em relação ao carro?

(A) 30√3 km/h.

(B) 60 km/h.

(C) 120 km/h.

(D) 30 km/h.

(E) 80km/h.

Resolução:

A imagem mostra Vc como a velocidade do carro e Vr como a velocidade resultante da chuva em relação ao carro. O ângulo formado entre Vr e a reta na vertical é de 30°, portanto:

sen 30° = Vc
                 Vr

0,5 = 60
         Vr

Vr = 120 km/h

Alternativa: C

 

06) (PUC) Um avião em voo horizontal voa a favor do vento com velocidade de 180 Km/h em relação ao solo. Na volta, ao voar contra o vento, o avião voa com velocidade de 150 Km/h em relação ao solo. Sabendo-se que o vento e o módulo da velocidade do avião (em relação ao ar) permanecem constantes, o módulo da velocidade do avião e do vento durante o voo, respectivamente, são:

(A) 165 Km/h e 15 Km/h

(B) 160 Km/h e 20 Km/h

(C) 155 Km/h e 25 Km/h

(D) 150 Km/h e 30 Km/h

(E) 145 Km/h e 35 Km/h

Resolução:

Partindo das informações do enunciado e tendo Vv como a velocidade do vento e Va como a velocidade do avião, podemos entender que, voando a favor do vento, a velocidade da aeronave deve ser somada à do vento e, no voo contra o vento, deve haver uma subtração de velocidades. Logo, podemos montar um sistema:

Va + Vv = 180

Va – Vv = 150

No sistema acima, podemos somar termo a termo, de modo que: Va + Va = 2Va; +Vv – Vv = 0 e 180 + 150 = 330

Portanto:

2.Va = 330

Va = 165 km/h

Logo, Vv = 180 – Va = 180 – 165 = 15 km/h

Alternativa: A

 

07) (IFBA) Dois veículos A e B trafegam numa rodovia plana e horizontal, obedecendo as seguintes equações horárias, cujas unidades estão expressas no Sistema internacional de medidas (S.I.):

XA = 200,0 + 10,0t e XB = 1000,0 – 30,0t

Ao analisar esses movimentos, pode-se afirmar que a velocidade relativa de afastamento dos veículos, em km/h, vale:

(A) 20,0

(B) 40,0

(C) 80,0

(D) 100,0

(E) 144,0

Resolução:

A função horária utilizada foi: S = S0 + v.t, portanto, os valores 10 e – 30 correspondem, respectivamente, às velocidades dos objetos A e B em m/s. O sinal negativo da velocidade do móvel B indica que seu sentido de movimento é oposto ao do móvel A. Se ocorre afastamento entre os objetos, podemos entender que um se movimenta para a direita, enquanto o outro movimenta-se para a esquerda, de modo a afastarem-se. Nesse caso, a velocidade relativa será determinada pela soma dos módulos das velocidades de cada móvel:

Vreal = 30 + 10 = 40 m/s x 3,6 = 144 km/h

Alternativa: E

 

08) (Unitau) Uma motocicleta com velocidade constante de 20 m/s ultrapassa um trem de comprimento 100 m e velocidade 15 m/s. A duração da ultrapassagem é:

(A) 5 s

(B) 15 s

(C) 20 s

(D) 25 s

(E) 30 s

Resolução:

O movimento dos móveis ocorre no mesmo sentido, logo, pode-se determinar a velocidade relativa da moto em relação ao trem como sendo a subtração entre os módulos das velocidades dos dois veículos:

Vreal = 20 – 15 = 5 m/s

Podemos concluir que a moto movimenta-se a 5 m/s em relação ao trem. Por meio da definição de velocidade média, e sabendo que o trem possui 100 m de comprimento, temos:

V = Δs ÷ Δt

5 = 100 ÷ Δt

5 . Δt = 100

Δt = 100 ÷ 5

Δt = 20 s.

Alternativa: C

 

09) Dois móveis movimentam-se de acordo com as seguintes funções horárias:

SA = 15 + 25.t

SB = 20 + 30.t

Marque a alternativa correta a respeito do movimento desses objetos:

(A) A velocidade relativa de aproximação dos móveis é de 5 m/s.

(B) Não há movimento relativo de aproximação ou afastamento dos móveis.

(C) O móvel A afasta-se de B com uma velocidade de 5 m/s

(D) O móvel B afasta-se de A com uma velocidade de 5 m/s.

(E) O movimento do móvel A é classificado como retrógrado.

Resolução:

A função horária utilizada foi: S = S0 + v.t, portanto, os valores 25 e 30 correspondem, respectivamente, às velocidades dos objetos A e B em m/s. As velocidades possuem o mesmo sinal, logo o movimento dos móveis ocorre no mesmo sentido, e a velocidade relativa entre os móveis será dada pela subtração das velocidades de cada um:

Vreal = 30 – 25 = 5 m/s

O corpo B afasta-se de A com uma velocidade de 5 m/s.

Alternativa: D

 

10) Um ônibus e uma moto movimentam-se, no mesmo sentido, com velocidades de 20 m/s e 30 m/s, respectivamente. Sentado a uma das janelas do ônibus, um passageiro marca um tempo de 3 s para que a moto ultrapasse o ônibus. Determine o tamanho do ônibus.

(A) 30 m

(B) 25 m

(C) 15 m

(D) 10 m

(E) 12 m

Resolução:

Como o movimento dos móveis ocorre no mesmo sentido e a velocidade da moto é maior, podemos concluir que a velocidade relativa de aproximação será dada pela subtração das velocidades dos móveis.

Vreal = 30 – 20 = 10 m/s

Pode-se concluir que a moto tem uma velocidade de 10 m/s em relação ao ônibus. Por meio da definição de velocidade média, podemos determinar o tamanho do ônibus:

V = Δs ÷ Δt

10 = Δs ÷ 3

Δs = 3 . 10 = 30 m

Alternativa: A


11) (ESPM-SP) Dois colegas estão numa praça circular cujo diâmetro vale 60 m, conforme o esquema.

Os dois resolvem caminhar, partindo de A, e um deles segue o diâmetro AC enquanto o outro segue o contorno ABC. Se os dois caminham com velocidade de 1,0 m/s, aquele que segue o contorno passando pelo ponto B chega ao ponto C com atraso em relação ao colega. Considerando PI = 3,1, esse atraso, em segundos é igual a:

(A) 27

(B) 33 
(C) 67 
(D) 73 
(E) 93 

Resolução:

Encontrando a função horária do espaço daquele que caminha pela trajetória ABC: 

SABC = S0 + vA.t

A distância percorrida por essa pessoa é igual à metade do comprimento da circunferência. 
Comprimento da circunferência é dado por C = 2πr, a metade desse comprimento é:

SABC = 2πr/2

Assim: 

πr = 0 + 1.to

3,1.30 = to 

to = 93 s

O tempo gasto para aquele que percorre o diâmetro de 60 m é de: 

SAC = S0 + v.t 

60 = 0 + 1.t 

t2 = 60 s.

Portanto, a diferença entre os tempos é de:

to – t = 93 – 60 

to – t = 33 s

 

12) (PUC) Um macaco que pula de galho em galho em um zoológico, demora 6 segundos para atravessar sua jaula, que mede 12 metros. Qual a velocidade média dele?

Resolução:

S=12m

t=6s

v=?

 

 

13) (Fuvest) Um carro viaja de uma cidade A a uma cidade B, distantes 200km. Seu percurso demora 4 horas, pois decorrida uma hora de viagem, o pneu dianteiro esquerdo furou e precisou ser trocado, levando 1 hora e 20 minutos do tempo total gasto. Qual foi a velocidade média que o carro desenvolveu durante a viagem?

Resolução:

S=200km

t=4h

v=?

Mesmo o carro tendo ficado parado algum tempo durante a viagem, para o cálculo da velocidade média não levamos isso em consideração.

 

14) (Fuvest) No exercício anterior, qual foi a velocidade nos intervalos antes e depois de o pneu furar? Sabendo que o incidente ocorreu quando faltavam 115 km para chegar à cidade B.

Resolução:

Antes da parada:

S= 200-115=85km

t=1hora

v=?

Depois da parada:

S= 115km

t= 4h-1h-1h20min= 1h40min=1,66h (utilizando-se regra de três simples)

v=?

 

 

 

15) (Unesp) Um bola de basebol é lançada com velocidade igual a 108m/s, e leva 0,6 segundo para chegar ao rebatedor. Supondo que a bola se desloque com velocidade constante. Qual a distância entre o arremessador e o rebatedor?

Resolução:

se isolarmos S:

16) (Vunesp) Durante uma corrida de 100 metros rasos, um competidor se desloca com velocidade média de 5m/s. Quanto tempo ele demora para completar o percurso?

Resolução:

, se isolarmos t:

 

17) (PUC) Um carro desloca-se em uma trajetória retilínea descrita pela função S=20+5t (no SI). Determine:

(a) a posição inicial;

(b) a velocidade;

(c) a posição no instante 4s;

(d) o espaço percorrido após 8s;

(e) o instante em que o carro passa pela posição 80m;

(f) o instante em que o carro passa pela posição 20m.

Comparando com a função padrão: 

(a) Posição inicial = 20m

(b) Velocidade = 5m/s

(c) S= 20+5t

S= 20+5.4

S= 40m

(d) S= 20+5.8

S= 60m

(e) 80= 20+5t

80-20=5t

60=5t

12s =t

(f) 20= 20+5t

20-20= 5t

t=0

 

18) (PUC) Em um trecho de declive de 10km, a velocidade máxima permitida é de 70km/h. Suponha que um carro inicie este trecho com velocidade igual a máxima permitida, ao mesmo tempo em que uma bicicleta o faz com velocidade igual a 30km/h. Qual a distância entre o carro e a bicicleta quando o carro completar o trajeto?

Resposta:

Carro:

S=10km

v=70km/h

t=?

S=70t

10=70t

0,14h=t

t=8,57min (usando regra de três simples)

Bicicleta:

O tempo usado para o cálculo da distância alcançada pela bicicleta, é o tempo em que o carro chegou ao final do trajeto: t= 0,14h

Resposta:

v=30km/h

t=0,14h

S=?

S=0+30.(0,14)

S=4,28Km

 

19) (UEL-PR) O gráfico a seguir mostra as posições em função do tempo de dois ônibus. Um parte de uma cidade A em direção a uma cidade B, e o outro da cidade B para a cidade A. As distâncias são medidas a partir da cidade A. A que distância os ônibus vão se encontrar?

Para que seja possível fazer este cálculo, precisamos saber a velocidade de algum dos dois ônibus, e depois, calcular a distância percorrida até o momento em que acontece o encontro dos dois, onde as trajetórias se cruzam.

Calculando a velocidade ônibus que sai da cidade A em direção a cidade B (linha azul)

Resolução:

Sabendo a velocidade, é possível calcular a posição do encontro, quando t=3h.

 

20) (Vunesp) Um carro, se desloca a uma velocidade de 20m/s em um primeiro momento, logo após passa a se deslocar com velocidade igual a 40m/s, assim como mostra o gráfico abaixo. Qual foi o distância percorrida pelo carro?

Tendo o gráfico da v x t, o deslocamento é igual à área sob a reta da velocidade.

Resolução:

S= Área A + Área B

S=20 . 5 + 40 (15-5)

S = 20 . 5 + 40 . 10

S=100+400

S=500m

 

21) (Fei) Dois trens partem simultaneamente de um mesmo local e percorrem a mesma trajetória retilínea com velocidades, respectivamente, iguais a 300km/h e 250km/h. Há comunicação entre os dois trens se a distância entre eles não ultrapassar 10km. Depois de quanto tempo após a saída os trens perderão a comunicação via rádio?

Para este cálculo estabelece-se a velocidade relativa entre os trens, assim pode-se calcular o movimento como se o trem mais rápido estivesse se movendo com velocidade igual a 50km/h (300km/h-250km/h) e o outro parado.

Resolução:

Assim:

v=50km/h

S=10km

t=?

 

 

EXERCÍCIOS ESPECIAIS DE VELOCIDADE MÉDIA - (MRU)

04) Um veículo percorre metade de um trecho com uma velocidade constante de 60 km/h e a outra metade do trecho com velocidade constante de 90km/h. Qual a velocidade média no percurso todo?

A) 50km/h

B) 75km/h

C) 72km/h

D) 80 km/h

E) 90 km/h

Resolução:

A velocidade média é calculada pela distância percorrida dividida pelo tempo gasto.

Para resolver a conta é preciso trocar os tempos pelas velocidades (que são conhecidas).

Assim: 

Substituindo na equação anterior:

Alternativa: C

 

Observação - I 

Você pode aplicar a fórmula  a seguir (o MMC pronto para a substituição).

Observação: ha casos em que o enunciado diz que o móvel foi e voltou com velocidades diferentes. Sempre que você perceber que as distâncias percorridas forem iguais, as velocidades forem diferentes, e ele quiser saber a velocidade média em todo o percurso, você pode aplicar o raciocínio matemático (produto pela soma).

duas vezes o produto  das velocidades, dividida pela soma das velocidades

três vezes o produto  das velocidades, dividida pela soma das velocidades

Observação - II

Mas tenha cuidado com o enunciado da questão. Veja o exemplo a seguir.

15) (Enem/2016) Uma empresa de transportes precisa efetuar a entrega de uma encomenda o mais breve possível. Para tanto, a equipe de logística analisa o trajeto desde a empresa até o local da entrega. Ela verifica que o trajeto apresenta dois trechos de distâncias diferentes e velocidades máximas permitidas diferentes. No primeiro trecho, a velocidade máxima permitida é de 80 km/h e a distância a ser percorrida é de 80 km. No segundo trecho, cujo comprimento vale 60 km, a velocidade máxima permitida é 120 km/h.

Supondo que as condições de trânsito sejam favoráveis para que o veículo da empresa ande  continuamente na velocidade máxima permitida, qual será o tempo necessário, em horas, para a realização da entrega?

A) 0,7

B) 1,4

C) 1,5

D) 2,0

E) 3,0

Resolução:

Observação: pelo enunciado entende-se que as distâncias em cada trecho não são iguais, e as velocidades também são diferentes ele quiser saber o tempo total. Neste caso é um exercícios simples, para isso basta encontrar o tempo gasto em cada trecho (t1 e T2) e somar os dois tempos.

Vm1 = 80

t1 = x

ΔS1 = 80

Vm1 = ΔS/t1

80 = 80/t1

08t1 = 80

t1 = 80/80

T1 = 1h

Vm2 = 120

t2 = x

ΔS1 = 60

Vm2 = ΔS/t1

120 = 60/t1

120t1 = 60

t1 = 60/120

T1 = 0,5h

 total = T1 + T2 

total = 1,0 + 0,5

total = 1,5h

Alternativa: C

CORPOS EXTENSOS – (MRU)

16) Uma composição ferroviária com 1 locomotiva e 14 vagões desloca-se à velocidade constante de 10m/s. Tanto a locomotiva quanto cada vagão medem 12m. Então, quanto tempo ela demorará para atravessar um viaduto com 200m de comprimento?

Resolução:

Neste caos os dois o trem e o viaduto são corpos extensos, portanto tenho que considerar o tamanho do trem e o tamanho do viaduto.

- Tamanho do trem é 15 . 12 = 180 m.

- Tamanho do trem é 200 m.

ΔS = 180 + 200

ΔS = 380 m.

O tempo necessário para que o trem atravesse a ponte será:

Δt = ΔS/Vm

Δt = 380/10 = 38.

Resposta: o tempo de travessar será de 38s.

 

17) Uma composição ferroviária com 1 locomotiva e 14 vagões desloca-se à velocidade constante de 10m/s. Tanto a locomotiva quanto cada vagão medem 12m. Então, quanto tempo ela demorará para atravessar um sinaleiro

Resolução:

Neste caos apenas o trem e considerado corpo extenso, portanto devo considerar apenas o tamanho do trem.

- Tamanho do trem é 15 . 12 = 180 m.

O tempo necessário para que o trem atravesse o sinalerio será:

Δt = ΔS/Vm

Δt = 200/10 = 38

Δt = 20s

 

ENCONTRO DE DOIS MÓVEIS/ MESMO SENTIDO – (MRU)

18) Um móvel em uma rodovia sai da posição 18km e anda de acordo com o sentido positivo da trajetória com velocidade constante de 30km/h. Outro móvel sai da posição 2km e anda no sentido positivo da trajetória com velocidade constante de 50km/h. Determine o ponto onde os dois móveis se encontrarão.

A) 30 km

B) 38 km

C) 40 km

D) 42 km

E) 50 km

Resolução:

Função horária da posição para cada um dos móveis:

S1 = 18 + 30.t

S2 = 2 + 50.t

No momento do encontro, as posições dos móveis serão as mesmas, sendo assim, igualando as funções acima, teremos:

S1 = S2

18 + 30.t = 2 + 50.t

20.t = 16

t = 0,8h

O tempo para o encontro é de 0,8h. Assim, a posição de encontro para os móveis é:

S1 = 18 + 30.t

S= 18 + 30.0,8

S1 = 42 km

 S2 = 2 + 50.t

S= 2 + 50.0,8

S= 42 km

Alternativa: D

 

19) Dois carros, A e B, de dimensões desprezíveis, movem-se em movimento uniforme e no mesmo sentido com velocidades iguais a 20m/s e 15m/s, respectivamente. No instante t = 0, os carros encontram-se nas posições:

S0= 30m 

S0B = 180m

Resolução:

a) depois de quanto tempo A alcança B.

S = So + v.t

SA = 30 + 20.t

SB = 180 + 15.t

Iguale as funções

SA = SB

30 + 20.t = 180 + 15.t

5.t = 150

t = 30s

b) em que posição ocorre o encontro.

Substituir o valor do instante de encontro em uma das funções horárias. Usando a função horária do espaço de A, tem-se:

SA = 30 + 20.t

SA = 30 + 20. 30

SA = 630 m

Resposta: o encontro acontece após 30s e na posição 630m.

 

20) Duas cidades, A e B, distam entre si 400km. Da cidade A parte um móvel P dirigindo-se à cidade B; no mesmo instante, parte do B outro móvel Q dirigindo-se a A. Os móveis P e Q executam movimentos uniformes e suas velocidades escalares são de 30km/h e 50km/h, respectivamente.  A distância da cidade A ao ponto de encontro dos móveis P e Q, em km, vale:

A) 120

B) 150

C) 200

D) 240

E) 250

Resolução

S = So + v.t

SP = 0 + 30.t

SQ = 400 - 50.t (movimento é retrógrado -V)

Agora se igualam as funções:

SP = SQ

30.t = 400 - 50.t

80.t = 400

t = 5

Substituindo o valor do instante de encontro em uma das funções horárias encontraremos a posição de encontro..

SP = 30.t

SP = 30 . 5

SP = 150

Alternativa: B

 

VELOCIDADE RELATIVA ENTRE DOIS MÓVEIS – (MRU)

21) Três móveis AB e C, encontram-se numa trajetória retilínea descrevendo movimentos uniformes sendo que: VA = 5m/s, VB = 8m/s e VC = 4m/s. Sendo que A e B se movimentam-se no sentido favorável a trajetória e C movimenta-se no sentido contrário a trajetória.

Determine:

a) a velocidade de A em relação a B;

VAB = VA - VB

VAB = 5 – 8

VAB = - 3 m/s

 b) a velocidade de B em relação a C;

VBC = VB – VC

VBC = 8 – (-4)

VBC = 12 m/s

c) a velocidade de em relação a A.

VCA = VC - VA

VCA = -4 - 5

VCA = - 9 m/s

 

ENCONTRO DE DOIS MÓVEIS COM VELOCIDADE RELATIVA – (MRU)

22) Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido, em uma estrada reta, com velocidades constantes VA = 100km/h e VB = 80km/h. Responda:

Resolução:

a) Qual é, em módulo, a velocidade do carro B em relação a um observador no carro A?

VR = | VB - VA |

|VR| = |80 - 100|

|VR| = 20 km/h =20/3,6 m/s

b) Em um dado instante, o carro B está 600 m à frente do carro A. Quanto tempo, em horas, decorre até que A alcance B?

DSR = 600 m

O tempo para ocorrer o encontro é:

DSR = |VR| . t

600 = 20/3,6 . t

t = 108s

Resposta: O módulo da velocidade do carro B em relação ao carro A é 20 km/h e o tempo para que o carro A alcance o carro B é 108s

 

Movimento Uniformemente Variado (MUV)

Diferentemente do Movimento Uniforme, o Movimento Uniformemente Variado possui velocidade escalar média variável, e aceleração constante.

Característica de  movimento  uniformemente variado (MUV)

  • a velocidade varia com o passar do tempo.
  • a aceleração é constante.
  • A posição varia no decorrer do tempo (+ ou -)

Aceleração

É uma grandeza que faz variar a velocidade de um móvel. 

Aceleração Média

É a aceleração constante que um corpo possui num determinado intervalo de tempo. Ou seja, aceleração média é a variação do espeça percorrido dividido pela variação de tempo.

No Sistema Internacional (S.I) adota-se: tempo em segundo (s)velocidade metros por segundo (m/s) e distância em metros (m).

am = aceleração média (m/s2)

Vi = velocidade final (m/s)

Vf = velocidade inicial (m/s)

Δt = variação do tempo (s)

ΔV= Vf – Vi (variação da velocidade) (m/s)

Δt = tf – ti (variação do tempo) (s)

 

 

 

MOVIMENTO RETILÍNEO

UNIFORMEMENTE VARIADO  (MRUV)

É um movimento em linha reta, que possui uma aceleração constante e a sua velocidade varia  com passar do tempo. Nesse caso, o espaço (posição) percorrida varia (+ ou -)  ou proporcionalmente ao quadrado do tempo.

Característica:

  • A trajetória é uma reta.
  • A velocidade varia com o passar do tempo.
  • A aceleração é constante.
  • O espaço (posição) percorrida varia (+ ou -)

Equação Horária da Velocidade do Movimento Uniformemente Variado (MUV)

V = V0 + at

V = velocidade final (m/s)

V0 = velocidade inicial (m/s)

a = aceleração (m/s2)

t = tempo (s)

Equação horária das posições ou Função horária das posições do (MUV)

 

S = posição final (m)

S0 = posição inicial (m)

V0 = velocidade inicial (m/s)

= aceleração (m/s2)

 

Equação de Torricelli

Ela descreve a velocidade de um corpo em função da sua trajetória. Perceba que precisamos saber a orientação da trajetória para saber se a velocidade será positiva ou negativa.

Observação: geralmente usamos essa equação quando o tempo não é dado

v2 = v0+ 2aΔS

v2 = velocidade final (m/s)

v0 = velocidade inicial (m/s)

a = aceleração (m/s2)

ΔS = distância percorrida (m)

 

Gráficos do Movimento Uniformemente Variado

 

Função horária da velocidade v = f(t).

A função horária da velocidade é uma função do 1º grau, representada por:

v = v0 + a.t

Por ser uma função de primeiro grau, a representação gráfica dessa função é uma reta.

Gráficos da velocidade v = f(t).

1) Para a > 0


Nesse caso a > 0, o gráfico da função é uma reta crescente. A velocidade aumenta com o passar do tempo.

2) Para v < 0.


Aqui a < 0, assim, o gráfico é uma reta decrescente. A velocidade diminui com o passar do tempo.

Gráficos da Aceleração
No Movimento Uniformemente Variado, a aceleração é constante e diferente de zero, logo, a função da velocidade é uma função constate, e o gráfico que representa essa função é uma reta paralela ao eixo dos tempos.

 

 

EXERCÍCIO ESPECIAL  - (MRUV)

23) (Enem 2017) Um motorista que atende a uma chamada de celular é levado a desatenção, aumentando a possibilidade de acidente ocorrerem em razão ao aumento do seu tempo de reação. Considere dois motoristas, o primeiro atento e o segundo utilizando o celular enquanto dirige. Eles aceleram seus carros inicialmente a 1,00 m/s2. Em resposta a uma emergência, freiam com uma desaceleração igual a 5,00 ms2. O motorista atento aciona o freio à velocidade de 14,0m/s, enquanto o desatento, em situação análoga, leva 1,00 segundo a mais para iniciar a frenagem.

Que distância o motorista desatento percorre a mais do que o motorista atento, até a parada total dos carros?

A) 2,90 m

B) 14,0 m

C) 14,5 m

D) 15,0 m

E) 17,4 m

Resolução:

Motorista atento:

O motorista desatendo levou 1 segundo para pisar no freio o que temos: 

V1=14m/s e V= 15m/s

Nesse intervalos a distância percorrida é dada pela fórmula.

ΔS1/ Δt = (V1 + V2)/2

ΔS1/ 1 = (14 + 15)/2

ΔS1 = 14,5m

Observação: não temos o tempo de frenagem e quanto o tempo não é dado podemos aplicar a equação de Torricelli para cada um dos motoristas.

Motorista atento:

V2 = Vo2 + 2a. ΔS

02 = 142 + 2 . -5ΔS

0 = 196 - 10ΔS

-196 = -10ΔS

-56/-10 = ΔS

ΔS2 = 19,6m

Motorista desatento:

V2 = Vo2 + 2a. ΔS

02 = 152 + 2 . -5 ΔS

0 = 225 - 10ΔS

-225 = -10ΔS

-225/-10 = ΔS

ΔS3 = 22,5m

Temos:

ΔS1 = 14,5m

ΔS2 = 19,6m

ΔS2 = 37m

Espaço percorrido em cada situação

ΔS1 = 14,5m

ΔS2 = 19,6m

ΔS3 = 22,5m

Motorista desatento:

ΔS antes de iniciar a frenagem

ΔS3 durante a frenagem.

Motorista atento: :

ΔSdurante a fenagem ele percorreu.

Pergunta: Que distância o motorista desatento percorre a mais do que o motorista atento, até a parada total dos carros?

Fazendo a (distância percorrida do motorista desatento) menos a (distância percorrida pelo motorista atento) temos:

(ΔS1 + ΔS3) - ΔS2

(14,5 + 22,5) - 19,6

17,4

Alternativa: E

 

QUESTÕES RESOLVIDAS - (M.U.V.)

01) (PUC) Testes realizados com o carro Gol mostraram que ele vai de 0 a 100 km/h em 10s. Calcule a aceleração aproximada do veículo nesse intervalo de tempo. (adote 100 km/h = 28 m/s)

A) 2,0 m/s²

B) 2,8 m/s²

C) 4,1 m/s²

D) 5,3 m/s²

E) 8,1 m/s²

Resolução

v0 = 0

v = 100 km/h = 28 m/s

t = 10 s

 v = v0 + a.t

28 = 0 + a . 10

10a = 28

a = 28/10

a = 2,8 m/s²

Alternativa: B

 

02) (Vuesp) Um automóvel que vinha a 25 m/s freou e parou em 25 s. O valor  da aceleração escalar média do automóvel durante a freada foi de:

A) zero

B) -1,0 m/s²

C) 1,0 m/s²

D) -3,6 m/s²

E) 4,0 m/s²

Resolução

v0 = 25 m/s

v = 0

t = 25 s

 v = v0 + a.t

0 = 25 + a . 25

25 + a . 25 = 0

25a = -25

a = -25/25

a = -1 m/s²

Alternativa: B

 

03) (Fuvest) Um avião a jato, partindo do repouso. é submetido a uma aceleração constante de 4 m/s². Qual o intervalo de tempo de aplicação desta aceleração para que o jato atinja a velocidade de decolagem de 160 m/s ?

A) 80s

B) 20s

C) 20s

D) 40s

E) 40s

Resolução

v0 = 0

v = 160 m/s

a = 4 m/s²

v = v0 + a.t

160 = 0 + 4.t

t = 160/4

t = 40 s

Alternativa: D 

 

04)  (FUVEST) Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera com aceleração escalar constante e igual a 2,0 m/s2.

Pode-se dizer que sua velocidade escalar e a distância percorrida após 3,0 segundos, valem, respectivamente:

A) 6,0 m/s e 9,0m;

B) 6,0m/s e 18m;

C) 3,0 m/s e 12m;

D) 12 m/s e 35m;

E) 2,0 m/s e 12 m.

Resolução:

a = 2,0 m/s2
t = 3 s
v0 = 0 (pois o veículo parte do repouso)

Utilizamos a equação v = v0 + at:

v = 0 + 2 . 3
v = 6 m/s

Também utilizamos a função horária do espaço para o movimento uniformemente variado:

S = S0 + v0t + 1 at2
                           
2

Como S0 e v0 são iguais a zero, reescrevemos a fórmula da seguinte forma:

S = at2
       2

S = at2
       2

S = . 2 .32
       2

S = 9 m

Alternativa: A

 

05) (UFPA) Um ponto material parte do repouso em movimento uniformemente variado e, após percorrer 12 m, está animado de uma velocidade escalar de 6,0 m/s.

A aceleração escalar do ponto material, em m/s, vale:

A) 1,5

B) 1,0

C) 2,5

D) 2,0

E) n.d.a.

Resolução:

Dados:

Δs = 12 m
v = 6 m/s
v0 = 0

Para calcular a aceleração com esses dados, devemos utilizar a equação de Torricelli:

v2 = v0+ 2.a.Δs

62 = 02 + 2.a.12

36 = 24ª

a = 36
      24

a = 1,5 m/s2

Alternativa: A

 

06) Uma pedra é lançada do décimo andar de um prédio com velocidade inicial de 5m/s. Sendo a altura nesse ponto igual a 30 m e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, a velocidade da pedra ao atingir o chão é:

A) 5 m/s

B) 25 m/s

C) 50 m/s

D) 30 m/s

E) 10 m/s

Resolução:

Dados:

v0 = 5 m/s
h = 30 m
g = 10 m/s2

Utilizamos a equação de Torricelli para calcular a velocidade da pedra no final da queda livre:

v2 = v0+ 2.a.h
v2 = 5+ 2.10.30
v2 = 25 + 600
v2 = 625
v = √625
v = 25 m/s

Alternativa: B

 

07) Um móvel parte do repouso e percorre uma distância de 200 m em 20s. A aceleração desse móvel, em m/s2, é:

A) 0,5

B) 0,75

C) 1

D) 1,5

E) 2

Resolução:

S = 200 m
t = 20 s
v0 = 0

Utilizamos a função horária da posição:

S = S0 + v0t + 1 at2
                       2

200 = 0 + 0.20 + 1.a.202
                           2

200 = 1a . 400
          2

200 = 200 a

a = 200
      200

a = 1 m/s2

Alternativa: C

 

08) (UEL-PR) Um trem de 200 m de comprimento, com velocidade escalar constante de 60 km/h, gasta 36 s para atravessar completamente uma ponte.

A extensão da ponte, em metros, é de:

A) 200

B) 400

C) 500

D) 600

E) 800

Resolução:

Dados:

L = 200 m

V = 60 km/h = 16,7 m/s

T = 36 s

S = v.t

S = x + 200

x + 200 = 16,7 . 36

x = 600 – 200

x = 400 m

Alternativa: B

 

09) (FEI-SP) No movimento retilíneo uniformemente variado, com velocidade inicial nula, a distância percorrida é:

A) diretamente proporcional ao tempo de percurso

B) inversamente proporcional ao tempo de percurso

C) diretamente proporcional ao quadrado do tempo de percurso

D) inversamente proporcional ao quadrado do tempo de percurso

E) diretamente proporcional à velocidade

Resolução:

A equação que relaciona a velocidade inicial, a distância percorrida e o tempo é:

S = S0 + v0t +  1 at2
                              
2

Quando v0 é igual a zero e se considerarmos que S0 também é zero no início movimento, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

S = at2
           
2

Assim, podemos concluir que a distância percorrida é proporcional ao quadrado do tempo.

Alternativa: C.

 

10) Um automóvel parte do repouso e atinge a velocidade de 100 km/h em 8s. Qual é a aceleração desse automóvel?

Resolução:

Dados:

V = 100 km/h = 27,7 m/s
t = 8 s

Utilizamos a equação:

a = v
      t

E substituímos os dados:

a = 27,7
       8

a = 3,46 m/s2

 

11) Uma partícula em movimento retilíneo movimenta-se de acordo com a equação v = 10 + 3t, com o espaço em metros e o tempo em segundos. Determine para essa partícula:

a) A velocidade inicial

b) A aceleração

c) A velocidade quando t=5s e t= 10s

Resolução:

a) Para encontrar o valor da velocidade inicial, devemos comparar a equação acima com a função horária da velocidade:

V = vo + at

V = 10 + 3t

A partir dessa comparação, vemos que o termo que substituiu a velocidade inicial (v0) da fórmula é o número 10. Portanto, podemos concluir que v= 10 m/s

b) Comparando novamente as equações, vemos que o que substitui a aceleração (a) na equação é o número 3.

Portanto, a = 3 m/s2

c) Quando t = 5s

v = 10 + 3.5

v = 10 + 15

v = 25 m/s

Quando t = 10 s

v = 10 + 3.10

v = 10 + 30

v = 40 m/s

 

12) A velocidade de uma patícula aumenta uniformemente de 36km/h para 108km/h em 5 segundos em linha reta.

Calcule:

a) a sua aceleração   

b) a distância percorrida em 40 segundos

c) a sua velocidade em t = 25 segundos  

d) o instante onde a sua velocidade é 50m/s  

Resolução:

a) a sua aceleração   

vo = 36 km/h = 10 m/s

v = 108 km/h = 30 m/s

t = 5 s

a = Δv/Δt

a = (30m/s - 10m/s)/5s

a = 20 / 5

a = 4 m/s2

b) a distância percorrida em 40 segundos (Área da região limitada pelo gráfico de v = 10 + 4.t no intervalo de 0 a 40 s e o eixo dos tempos)

c) a sua velocidade em t = 25 segundos  

v = 10 + 4.t

v = 10 + 4.25

v = 10 + 100

v = 110 m/s

d) o instante onde a sua velocidade é 50m/s  

v = 10 4.t

50 = 10 +4t

50 - 10 = 4t

40 = 4t

t = 40/4

t = 10 s

 

13) O movimento de uma paríticula é descrita pela função s(t) = 1200 - 70t + t² com as unidade no SI. Para uma trajetória retilínea, detemine:

a) a posição inicial  (1200 m)

b) a velocidade em t = 0   (- 70 m/s)

c) a sua aceleração 

a/2 = 1

a =2 m/s2

d) a velocidade em t = 30s  

v = vo + v.t

v = - 70 +2t

v = -70 + 2.30

v = - 70 + 60

v = - 10 m/s

e) o instante que o movimento inverte o sentido 

v = - 70 + 2t

0 = - 70 +2t

70 =2t

t = 70/2

t = 35 s

f) o instante em que v = 33m/s 

v = - 70 +2t

33 = - 70 +2t

33 + 70 = 2t

103 =2t

t = 103/2

t = 51,5 s

g) a velocidade média entre t = 2s e t = 8s (faz o gráfico de v = - 70 +  2t e calcula a área da região corresponde ao intervalo considerado. Divide pelo respectivo intervalo de tempo.

 

14) No instante t = 0s um  uma moto encontra parada em um sinal luminoso quando passa por ela um carro com velocidade constante de 72km/h. Neste mesmo instante  a moto parte em linha reta com aceleração constante de 4m/s².

Determine:

a) o instante que a moto acompanha o carro  

b) a distância que cada um percorre até o encontro  

Resolução:

v = 72 km/h = 20 m/s

a = 4 m/s2

SM = So + (1/2). 4t2 Sc = So + 20t

a) o instante que a moto acompanha o carro  

1/2.4t2 = 20t

2t2 - 20t = 0

t(2t - 20) = 0

t = 0 ou 2t - 20 = 0

2t = 20

t = 20/2

t = 10 s

b) a distância que cada um percorre até o encontro  

ΔS = v . t

ΔS = 20 m/s . 10s

ΔS = 200 m

 

15) Um ônibus entra em um viaduto de 180m de comprimento com velocidade 108km/h e sai do mesmo com velocidade de 36km/h em  10 segundos. Qual o tamanho do referido ônibus?

vo = 36 km/h = 10 m/s 

v = 108 km/h = 30 m/s           

Δt =10 s

Sejam  

Vm = ΔS/Δt  e Vm =  (vo + v)/2

 ΔS/Δt = (Vo + V)/2

(180 + x)/10 = (10 + 30)/2

(180 + x)/10 = 20

180 + x = 200

x = 200 - 180

x = 20 m

 

16) A função horária de uma partícula é v = 50 + at e em 15 segundos ele alcança 200 m/s. Determine a distância percorrida entre 10 e 30 segundos e a velocidade média neste intervalo. ( 5000m e  250 m/s)

 200 = 50 + a.15

200 - 50 = 15.a

150 = 15a

a = 150/15

a = 10 m/s2.

Esta é a função horária: v = 50 + 10t  (é só fazer o gráfico v x t e calcular a área da região limitada pelo gráfico e o eixo dos tempos, do referido intervalo de tempo, para achar a distância Δs percorrida. Usa v = Δs/Δt  com Δt =20s para calcular a velocidade média)

 

17) A velocidade de um móvel que parte da origem dos espaços e move-se em linha reta, varia com o tempo segundo o gráfico v = f(t) abaixo. 

Calcule:

a) a aceleração (2,5 m/s2)

b) a velocidade em t = 30 segundos  (80 m/s)

c) o instante em que a velocidade é 100 m/s (38 s)

d) a posição em t = 10 segundos  (175 m)

e) a posição em t = 50s (3375 m)

f) a distância percorrida entre t = 5 s e t = 20 s (543,75 m)

 

18) Duas partículas movem-se em linha reta segundo as funções horárias 

SA = 100 + 20t

e

SB = - 44 + 20t + t² (SI).

Determine:

a) o instante que elas se encontram (12 s);

b) a distância percorrida por cada uma até o encontro (dA= 240 m; dB = 384 m)

c) as velocidades das partículas em t = 4s  (vA= 20 m/s; vB = 28 m/s)

d) a distância que separa as partículas em t = 20s(256 m)

e) O instante que a partícula B inverte o sentido do movimento  (não há)

 

19) A velocidade de um móvel varia em linha reta com o tempo segundo a equação              v = 10 +4t com as unidades no S.I. Calcule a distância percorrida entre 2 e 5s. (72 m)

 

20) A velocidade de um móvel que passa pela posição s = 10 m em t = 0, varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. A trajetória é retilínea. 

Calcule:

a) a aceleração (- 5 m/s2)

b) a velocidade em t = 20 segundos (- 80 m/s)

c) o instante em que a velocidade é -60 m/s  (16 s)

d) a posição em t = 10 segundos  (- 40 m)

e) a posição em t = 14 s (- 300m)

f) a distância percorrida entre t = 20 s e t = 30s  (1050 m)

 

21) No instante2.

Calcule:

a) a distância percorrida até parar (312,5 m)

b) o tempo de movimento (12,5 s)

 

22) Um carro que se movimenta do ponto x ao ponto y com velocidade constante de 20m/s em 15 minutos, freia uniformemente a partir de y até parar em z com aceleração de 5m.s-2. Calcule a distancia percorrida de x até z e o tempo gasto do ponto y ao ponto z. ( distância = 18040 m e t = 4 s )

 

23) A partir do instante t = 0 um automóvel percorre 2300m, em trajetória retilínea,  com movimento descrito pela função horária  v = vo + 10t até t = 20s onde v = 215 m/s. Calcule a a velocidade do automóvel em t = 100s e a distância percorrida no intervalo 2 ≤ t ≤ 30 s. Despreze o comprimento do carro. ( v = 1015 m/s e distância = 4900 m)

 

24) No instante t = 0 um móvel A está em repouso quando passa por ela outro móvel B com velocidade constante como é mostrado na figura seguinte.  Eles correm na mesma trajetória retilínea.

a) o instante que o móvel A alcança o móvel B(8 s)

b) a distância que eles percorrem até o instante que eles estão na mesma posição (320m)

 

25) A função horária de uma partícula é v = 50 + at e em 15 segundos ele alcança 200 m/s. Determine a distância percorrida entre 10 e 30 segundos e a velocidade média neste intervalo. ( 5000m e  250 m/s)

 200 = 50 + a.15

200 - 50 = 15.a

150 = 15a

a = 150/15

a = 10 m/s2.

Esta é a função horária: v = 50 + 10t  (é só fazer o gráfico v x t e calcular a área da região limitada pelo gráfico e o eixo dos tempos, do referido intervalo de tempo, para achar a distância Δs percorrida. Usa v = Δs/Δt  com Δt =20s para calcular a velocidade média)

 

26) No diagrama v x t cujo gráfico forma um ângulo de 30º com o eixo dos tempos, uma partícula realiza um MRUV durante 15 segundos. Em t = 0 a sua velocidade é 10√3 m/s.

Determine:

a) a aceleração (√3/3 m/s2)

b) a velocidade em t = 15 segundos (15√3 m/s)

c) a distância percorrida entre 3 e 21 segundos (252√3 m)

 

27) A velocidade de um móvel varia em linha reta com o tempo segundo o gráfico v x t abaixo.

Calcule:

a) a distância percorrida entre 20 segundos e 40 segundos (175 m);

b) a velocidade média entre 20s e 40s (8,75 m/s);

c) a aceleração entre 0 e 20 s e entre 30s e 40s (0,25 m/s2; - 1,5 m/s2);

d) a distância percorrida entre 0 e 40 s   (225 m).

 

28) Um móvel movimenta-se da origem dos espaços segundo o gráfico abaixo em movimento retilíneo.

Determine:

a) a função horária da velocidade;

b) o instante que muda de sentido;

c) o intervalo em que o movimento é acelerado e retardado;

d) a velocidade em t = 100 segundos;

e) o instante onde v = 120 m/s;

f) a posição em t = 40 s.

 

29) A velocidade de um corpo, em movimento retilíneo, varia com o tempo segundo o gráfico abaixo:

Determine:

a) a distância percorrida em entre 0 e 6 segundos;

b) a velocidade escalar média entre 0 e 6 s;

c) o instante que muda de sentido;

d) a aceleração escalar entre 0 e 1 segundo;

e) a aceleração escalar entre 3 e 5 segundos;

f) a máxima velocidade que ele consegue atingir no sentido progressivo;

g) o tipo de movimento nos intervalos 0≤ t ≤ 1s, 1 ≤ t ≤ 3s,  3 ≤ t ≤ 5s e 5 ≤  t≤ 6s

 

30) Um corpo que move-se em trajetória retilínea tem a sua velocidade variando com o tempo segundo o gráfico abaixo:

Determine:

a) a classificação do movimento como progressivo ou retrógrado no intervalo 0 ≤ t ≤ 6 s;

b) a classificação do movimento como progressivo ou retrógrado no intervalo 22 ≤ t ≤ 28 s;

c) a classificação como acelerado ou retardado no intervalo  6 ≤ t ≤ 10 s;

d) a classificação como acelerado ou retardado no intervalo  6 ≤ t ≤ 10 s;

e) a classificação como acelerado ou retardado no intervalo  18 ≤ t ≤ 22 s;

f) a classificação como acelerado ou retardado no intervalo  28 ≤ t ≤ 30 s;

g) a distância percorrida entre 20 e 30 s;

h) a velocidade escalar média entre 20 e 30 segundos;

i) a velocidade entre t = 7 segundos;

j) a velocidade em t = 21 segundos;

k) os instantes que muda de sentido entre o e 25 segundos.

 

31) Um corpo que move-se em trajetória retilínea tem a sua posição variando com o tempo segundo o gráfico abaixo:

Determine:

a) os instantes que passa pela origem dos espaços;

b) os instantes que muda de sentido;

c) a classificação do movimento como acelerado ou retardado no intervalo  0 ≤ t ≤ 8 h;

d) a classificação do movimento como acelerado ou retardado no intervalo  8 ≤ t ≤ 11 h;

e) a classificação do movimento como progressivo ou retrógrado em t ≥ 11 h;

f) a velocidade em t = 5 h;

g) a posição em t = 80 h;

h) a velocidade em s = -300 km.

 

 GRANDEZA VETORIAL

Introdução

Os vetores apareceram no final do século 19, quando o americano Josiah Willard Gibbs e o inglês Oliver Heaviside desenvolveram independentemente a análise de vetores para expressar as novas leis do eletromagnetismo, que foram descobertas pelo físico escocês James Clerk Maxwell. Desde aquela época, os vetores se tornaram essenciais na física, mecânica, engenharia e em outras ciências para descrever forças matematicamente.

Cinemática Vetorial

Os conceitos da cinemática escalar vistos até aqui podem ser aplicados à cinemática vetorial, que também estuda o movimento dos corpos, mas definindo as grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares

São definidas apenas pelo seu valor numérico e sua unidade de medida.

Exemplos: Tempo, Temperatura, Volume, Massa, Trabalho de uma Força, etc.

Grandezas Vetoriais

São aquelas que necessitam de uma direção e um sentido, além do valor numérico e da unidade de medida.

Exemplos: Velocidade, Aceleração, Força, Deslocamento, Empuxo, Campo elétrico, Campo magnético, Força peso, etc.

Vetor

É um ente matemático caracterizado por possuir um sentidouma direção e um módulo (intensidade).

 Operações com Grandeasas Vetoriais

Casos Especiais


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA

01) (Mackenzie – SP) Um corpo é atirado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial de módulo 50 m/s. O módulo de sua velocidade vetorial média entre o instante de lançamento e o instante em que retorna ao solo é:

(A) 50 m/s

(B) 25 m/s

(C) 5,0 m/s

(D) 2,5 m/s

(E) zero

Resolução:

Como a definição de velocidade vetorial é a razão entre deslocamento e intervalo de tempo, a velocidade vetorial média do móvel é zero, já que seu deslocamento é nulo.

Alternativa: E

 

02) (PUC-SP) Se a velocidade vetorial de um ponto material é constante e não nula, sua trajetória:

(A) é uma parábola.

(B) pode ser retilínea, mas não necessariamente.

(C) deve ser retilínea.

(D) é uma circunferência.

(E) pode ser uma curva qualquer.

Resolução:

Para a velocidade vetorial ser constante, é necessário que seu módulo, direção e sentido sejam constantes. Logo, somente é possível que a trajetória seja retilínea.

Alternativa: C

 

03) Um carteiro desloca-se entre os pontos A e B de certo bairro. Sabendo que cada quarteirão é aproximadamente quadrado e apresenta 10 m de lado, assinale a alternativa que apresenta corretamente o módulo do deslocamento vetorial do carteiro.

(A) 10√3 m

(B) 10 m

(C) 50 m

(D) 1300 m

(E) 10√13 m

Resolução:

Para calcular o deslocamento vetorial, consideramos a distância entre os pontos final e inicial. Observe a figura a seguir:

É possível ver por meio da figura que o deslocamento entre os pontos A e B apresenta 30,0 m na horizontal e 20,0 m na vertical. Podemos descrevê-lo, portanto, como um vetor:

Para calcular o módulo desse deslocamento, utilizamos o Teorema de Pitágoras:

Fazendo a fatoração da raiz, encontramos:

Logo, o deslocamento vetorial do carteiro é de aproximadamente 36 m.

Alternativa: E

 

04) Um carteiro desloca-se entre os pontos A e B de certo bairro. Sabendo que cada quarteirão é aproximadamente quadrado e apresenta 10 m de lado, assinale a alternativa que apresenta corretamente o espaço percorrido pelo carteiro.

(A) 10√3 m

(B) 50 m

(C) 5,0 m

(D) 100 m

(E) 10√13 m

Resolução:

Diferentemente do deslocamento, o espaço percorrido é escalar, ou seja, não consideramos módulo, direção e sentido por não se tratar de um vetor. Nesse caso, basta somar a distância total percorrida pelo carteiro.

Espaço percorrido: 50 m

Alternativa: B

 

05) A correnteza de um rio possui velocidade de 4m/s no sentido indicado na figura abaixo. Um nadador percorrerá a diagonal AD do quadrado ABCD em razão da composição de seu movimento com o movimento da correnteza e, para isso, ele deve manter uma velocidade constante de 3 m/s no sentido AB. Sendo assim, determine o valor aproximado do tempo que será gasto pelo nadador no percurso AD.

Adote: √2 = 1,4

(A) 37,7 min

(B) 42,8 min

(C) 30 min

(D) 35,5 min

(E) 40 min

Resolução:

O nadador percorrerá a diagonal AD por causa da composição de sua velocidade com a velocidade da correnteza. Sabendo que o ângulo entre os percursos AB e AC é de 90°, temos:

Distância resultante AD:

DAD2 = DAB2 + DAC2

DAD2 = 82 + 82

DAD2 = 64+64

DAD2 = 128

DAD = √128

DAD ≈11,3 km = 11300 m

Velocidade resultante entre AD:

VAD2 = Vnadador2 + Vcorrenteza2

VAD2 = 32 + 42

VAD2 = 9 + 16

VAD = √25

VAD = 5 m/s

Fazendo a velocidade média para o trecho AD, temos:

VAD = DAD → 5 = 11300

Δt = 2260 s  ≈ 37,7 min

            Δt                  Δt   

Alternativa; A

 

06) (UFMS) Um carro move-se com velocidade constante de 60 km/h. Começa a chover e o motorista observa que as gotas de água da chuva caem formando um ângulo de 30° com a vertical. Considerando que, em relação à Terra, as gotas caem verticalmente, qual a velocidade em que as gotas de água caem em relação ao carro?

(A) 30√3 km/h.

(B) 60 km/h.

(C) 120 km/h.

(D) 30 km/h.

(E) 80km/h.

Resolução:

A imagem mostra Vc como a velocidade do carro e Vr como a velocidade resultante da chuva em relação ao carro. O ângulo formado entre Vr e a reta na vertical é de 30°, portanto:

sen 30° = Vc
                 Vr

0,5 = 60
         Vr

Vr = 120 km/h

Alternativa: C

 

07) (PUC) Um avião em voo horizontal voa a favor do vento com velocidade de 180 Km/h em relação ao solo. Na volta, ao voar contra o vento, o avião voa com velocidade de 150 Km/h em relação ao solo. Sabendo-se que o vento e o módulo da velocidade do avião (em relação ao ar) permanecem constantes, o módulo da velocidade do avião e do vento durante o voo, respectivamente, são:

(A) 165 Km/h e 15 Km/h

(B) 160 Km/h e 20 Km/h

(C) 155 Km/h e 25 Km/h

(D) 150 Km/h e 30 Km/h

(E) 145 Km/h e 35 Km/h

Resolução:

Partindo das informações do enunciado e tendo Vv como a velocidade do vento e Va como a velocidade do avião, podemos entender que, voando a favor do vento, a velocidade da aeronave deve ser somada à do vento e, no voo contra o vento, deve haver uma subtração de velocidades. Logo, podemos montar um sistema:

Va + Vv = 180

Va – Vv = 150

No sistema acima, podemos somar termo a termo, de modo que: Va + Va = 2Va; +Vv – Vv = 0 e 180 + 150 = 330

Portanto:

2.Va = 330

Va = 165 km/h

Logo, Vv = 180 – Va = 180 – 165 = 15 km/h

Alternativa: A

 

08) Supondo que o carteiro dos exercícios 3 e 4 tenha levado 30 segundos para deslocar-se entre os pontos A e B, assinale a alternativa que apresenta sua velocidade vetorial média e sua velocidade escalar média, respectivamente, em m/s:

(A) 10 m/s e √13 m/s

(B) 1,66 m/s e 1,20 m/s

(C) 1,20 m/s e 1,66 m/s

(D) 100 m/s 1,20 m/s

(E) √13 m/s e 10 m/s

Resolução:

Calculando sua velocidade vetorial média, obtemos o seguinte resultado:

Ao calcular sua velocidade escalar média, obtemos:

Alternativa: C

 

09)  Em um movimento com trajetória retilínea podemos afirmar:

(A) a aceleração tangencial será nula;

(B a aceleração tangencial terá mesmo sentido da velocidade vetorial;

(C) a aceleração tangencial terá sempre o mesmo sentido;

(D a aceleração tangencial, suposta não nula, terá sempre a mesma direção;

(E) a aceleração tangencial será constante.

Resolução:

Analisando cada opção:

A - Não podemos afirmar, que a aceleração tangencial será nula, pois a questão não fala nada sobre ser um movimento uniforme.

B - Não podemos afirmar isso. Não sabemos se o móvel está em movimento acelerado ou retardado.

C - Não podemos afirmar isso. Não sabemos se o móvel está em movimento acelerado ou retardado.

D - Opção correta. Apenas o que irá mudar na aceleração tangencial é o seu sentido.

E - Não podemos afirmar que será constante. O enunciado não afirma ser um movimento uniformemente variado.

Alternativa: D

 

10) (UFPA) Uma partícula percorre, com movimento uniforme, uma trajetória não retilínea. Em cada instante teremos que:

(A) Os vetores velocidade e aceleração são paralelos entre si;

(B) A velocidade vetorial é nula;

(C) Os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares entre si;

(D) Os vetores velocidade a aceleração têm direções independentes;

(E) O valor do ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração muda de ponto a ponto.

Resolução:

O enunciado diz que, o movimento é uniforme e a trajetória não é retilínea, logo a velocidade é constante e a trajetória é curva. O vetor velocidade será sempre tangencial e terá sempre a mesma intensidade, como a trajetória é curva, temos uma aceleração que aponta para o centro da trajetória. Por tanto o vetor velocidade, tangencial, e o aceleração, serão sempre perpendiculares entre si.

Alternativa: C

 

11) Um volante circular como raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com aceleração angular igual a 2rad/s².

(a) Qual será a sua velocidade angular depois de 10 segundos?

(b) Qual será o ângulo descrito neste tempo?

(c) Qual será o vetor aceleração resultante?

Resolução:

(a) Pela função horária da velocidade angular:

(b) Pela função horária do deslocamento angular:

(c) Pelas relações estabelecidas de aceleração tangencial e centrípeta:

 

Exercícios com gabarito - Cinemática Vetorial

01) (FATEC) Um automóvel percorre 6,0km para o norte e, em seguida 8,0km para o leste. A intensidade do vetor posição, em relação ao ponto de partida é:

(A) 10 km
(B) 14 km
(C) 2,0 km
(D) 12 km
(E) 8,0 km

 

02) (OSEC) Um móvel percorre uma trajetória circular de 1,00 metro de raio. Após percorrer um quarto de circunferência, o deslocamento do móvel é, aproximadamente:

(A) 1,00m
(B) 1,41m
(C) 3,14m
(D) 6,28m
(E) n.d.a.

 

03) (MACKENZIE) Um corpo é atirado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial de módulo 50 m/s. O módulo de sua velocidade vetorial média entre o instante de lançamento e o instante em que retorna ao solo é:

(A 50 m/s
(B) 25 m/s
(C) 5,0 m/s
(D) 2,5 m/s
(E) zero

 

04) (PUC – RS) As informações a seguir referem-se a um movimento retilíneo realizado por um objeto qualquer.

I. A velocidade vetorial pode mudar de sentido.

II. A velocidade vetorial tem sempre módulo constante.

III. A velocidade vetorial tem direção constante.

A alternativa que representa corretamente o movimento retilíneo é:

(A) I, II e III
(B) Somente III
(C) Somente II
(D) II e III
(E) I e III

 

05) (UFPA) Uma partícula percorre, com movimento uniforme, uma trajetória não retilínea. Em cada instante teremos que:

(A) Os vetores velocidade e aceleração são paralelos entre si;

(B) A velocidade vetorial é nula;

(C) Os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares entre si;

(D) Os vetores velocidade a aceleração têm direções independentes;

(E) O valor do ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração muda de ponto a ponto.

 

06) (PUCCAMP-SP) Num bairro onde todos os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas distam 100m uma da outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória representada no esquema 

O deslocamento vetorial desse transeunte tem módulo, e metros, igual a:

(A) 300
(B) 350
(C) 400
(D) 500
(E) 700

 

07) (UNESP-SP) Nas provas dos 200 m rasos, no atletismo, os atletas partem de marcas localizadas

em posições diferentes na parte curva da pista e não podem sair de suas raias até a linha de chegada.

Dessa forma, podemos afirmar que, durante a prova, para todos os atletas, o

(A) espaço percorrido é o mesmo, mas o deslocamento e a velocidade vetorial média são diferentes.

(B) espaço percorrido e o deslocamento são os mesmos, mas a velocidade vetorial média é diferente.

(C) deslocamento é o mesmo, mas o espaço percorrido e a velocidade vetorial média são diferentes.

(D) deslocamento e a velocidade vetorial média são iguais, mas o espaço percorrido é diferente.

(E) espaço percorrido, o deslocamento e a velocidade vetorial média são iguais.

 

08) (PUC-PR) Um ônibus percorre em 30 minutos as ruas de um bairro, de A até B, como mostra a figura:

Considerando a distância entre duas ruas paralelas consecutivas igual a 100 m, analise as afirmações:

I. A velocidade vetorial média nesse percurso tem módulo 1 km/h.

II. O ônibus percorre 1500 m entre os pontos A e B.

III. O módulo do vetor deslocamento é 500 m.

 

IV. A velocidade vetorial média do ônibus entre A e B tem módulo 3 km/h.

Estão corretas:

(A) I e III.                    

(B) I e IV.                      

(C) III e IV.                    

(D) I e II.                     

(E) II e III.

 

09) (PUC-SP) Se a velocidade vetorial de um ponto material é constante e não nula, sua trajetória:

(A) é uma parábola     

(B) pode ser retilínea, mas não necessariamente     

(C) deve ser retilínea     

(D) é uma circunferência     

(E) pode ser uma curva qualquer

 

10) (UFRN) A figura abaixo representa o deslocamento de um móvel em várias etapas. Cada vetor tem módulo igual a 20m.

A distância percorrida pelo móvel e a intensidade do vetor deslocamento são, respectivamente:

(A) 20√5m e 20√5m     

(B) 40m e 40√5m     

(C) 100m e 20√5m     

(D) 20√5m e 40m     

(E) 100m e 40√5m

 

11) (UFPI) Na figura a seguir, A e B são cidades, situadas numa planície e ligadas por cinco diferentes caminhos, numerados de 1 a 5.

Cinco atletas corredores, também numerados de 1 a 5, partem de A para B, cada um seguindo o caminho correspondente a seu próprio número. Todos os atletas completam o percurso em um mesmo tempo.

Identifique a opção correta:

(A) Todos os atletas foram, em média, igualmente rápidos.

(B) O atleta de número 5 foi o mais rápido.

(C) O vetor velocidade média foi o mesmo para todos os atletas.

(D) O módulo do vetor velocidade média variou, em ordem decrescente, entre o atleta 1 e o atleta 5.

 

12) (FUVEST-SP) Um automóvel executa uma volta completa em uma pista circular, em dois minutos,

mantendo constante a indicação do velocímetro. Em um dos pontos da trajetória, a aceleração vetorial do automóvel te módulo igual a 4m/s2. O raio da pista é:

(A) zero                   

(B) 500m                   

(C) 1.000m                    

(D) 1.500m                     

(E) 3.000m

 

13) (UFPR-PR) Quatro bolas de futebol, com raios e massas iguais, foram lançadas verticalmente para cima, a partir do piso de um ginásio, em instantes diferentes. Após um intervalo de tempo, quando as bolas ocupavam a mesma altura, elas foram fotografadas e tiveram seus vetores velocidade identificados conforme a figura a seguir:

Desprezando a resistência do ar, considere as seguintes afirmativas:

I. No instante indicado na figura, a força sobre a bola b1 é maior que a força sobre a bola b2.

II. É possível afirmar que b4 é a bola que atingirá a maior altura a partir do solo.

III. Todas as bolas estão igualmente aceleradas para baixo.

Assinale a alternativa correta.

(A) Somente a afirmativa I é verdadeira.       

(B) Somente a afirmativa II é verdadeira.       

(C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

(D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.         

(E) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

 

14) (Ufla-MG) Uma criança brinca com um rotor de um playground, conforme a figura, que está realizando movimento circular e uniforme com velocidade em módulo de √2m/s.

Entre os instantes t=2s e t’=4s, o módulo da aceleração média será de :

(A) 0              

(B) -1m/s2                    

(C) 1m/s2                   

(D) √2m/s2                    

(E) √2/2m/s2

 

GABARITO

01A – 02B – 03E – 04E – 05C – 06D – 07A - 08A - 09C – 10C – 11C – 12D – 13D – 14C.

 

RESOLVIDOS - GRANDEZAS VETORIAIS e GRANDEZAS ESCALARES

01) Assinale a alternativa que contém apenas grandezas vetoriais.

A) Aceleração, velocidade, força, impulso, empuxo e trabalho.

B) Trabalho, aceleração, campo magnético, força centrípeta e temperatura.

C) Momento linear, campo magnético, campo elétrico e força.

D) Quantidade de movimento, campo magnético, energia e tempo

E) Energia, massa, peso, empuxo, campo elétrico e velocidade.

Resolução:

As grandezas vetoriais são aquelas que possuem módulo, direção e sentido. As grandezas que possuem apenas valor numérico (módulo) são chamadas de escalares.

A) Errada. Trabalho é uma quantidade de energia, por isso, é uma grandeza escalar.

B) Errada. Trabalho e temperatura são escalares.

C) Correta.

D) Errada. Energia e tempo são escalares.

E) Errada. Energia e massa são escalares.

Alternativa: C

 

02) Cotidianamente as grandezas massa e peso são confundidas como se fossem exatamente iguais.

Assinale a alternativa que indica corretamente a diferença entre massa e peso.

A) A massa é a quantidade de matéria de um corpo, por isso, é uma grandeza vetorial. O peso é a força com a qual o corpo é atraído pela Terra, por isso, é uma grandeza escalar.

B) O peso de um corpo é a força com a qual ele é atraído pela Terra, sendo, por essa razão, uma grandeza vetorial. A massa é a quantidade de matéria que compõe o corpo e é uma grandeza escalar.

C) Massa e peso são grandezas vetoriais. A diferença é que a definição de peso leva em consideração a aceleração da gravidade.

D) O peso é fruto do produto da massa pela gravidade, e a massa é fruto do produto do peso pela gravidade.

E) Todas as alternativas estão incorretas.

Resolução:

A força peso é o produto da massa pela aceleração da gravidade e é uma grandeza vetorial. A massa de um corpo é a quantidade de matéria que o compõe e é uma grandeza de tratamento escalar.

Alternativa: B

 

03) Ao perguntar a diferença entre grandezas escalares e vetoriais, um professor de Física obteve as seguintes respostas:

João: As grandezas escalares possuem apenas valores numéricos. Já as vetoriais possuem, além de valor numérico, direção e sentido. Força e aceleração são exemplos de grandezas vetoriais. Massa e empuxo são exemplos de grandezas escalares.

Pedro: As vetoriais têm duas características: módulo e direção. As escalares possuem apenas valor numérico. Força e velocidade são vetoriais. Massa e tempo são escalares.

A partir das respostas dos alunos, marque a alternativa correta:

A) Pedro e João estão corretos.

B) Somente João está correto.

C) Somente Pedro está correto.

D) João errou as definições e acertou os exemplos, e Pedro errou os exemplos e acertou as definições.

E) João acertou as definições e errou ao dar os exemplos. Pedro acertou os exemplos e errou ao dar as definições.

Resolução:

As definições dadas por João estão corretas. O erro cometido por ele foi classificar o empuxo como uma grandeza escalar. Os exemplos dados por Pedro estão corretos, mas ele cometeu erro ao dizer que as grandezas vetoriais possuem apenas módulo e direção, uma vez que o correto é módulo, direção e sentido.

Alternativa: E

 

04) A imagem a seguir mostra o deslocamento de uma partícula.

Marque a alternativa correta sabendo que o caminho AB possui 3 mmBC possui 4 mm e que as retas AB e BC são perpendiculares.

A) O deslocamento vetorial da partícula é 7 mm.

B) A distância total percorrida pela partícula é 7 mm, e o deslocamento é 5 mm.

C) Tanto a distância total percorrida quanto o deslocamento da partícula são iguais a 7 mm.

D) A determinação do deslocamento vetorial é dada pela soma das distâncias AB e BC.

E) Mesmo que o ângulo entre as retas AB e BC fosse diferente, o deslocamento vetorial seria igual a 5 mm.

Resolução:

A distância total percorrida é a soma de cada uma das etapas feitas pela partícula, ou seja:

AB + BC = 3 mm + 4 mm = 7 mm

O deslocamento é a reta que une o ponto de partida ao ponto de chagada. Assim, a figura formada é um triângulo retângulo, e a hipotenusa desse triângulo corresponde ao deslocamento AC da partícula.

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

AC2 = AB2 + BC2

AC2 = 32 + 42

AC2 = 9 + 16

AC2 = 25

AC = 5 mm

Alternativa: B

  

MOVIMENTO CIRCULAR

Um movimento circular é aquele em que o objeto ou ponto material se desloca em uma trajetória circular. Neste tipo de movimento, existe uma força centrípeta que muda a direção do vetor velocidade e é aplicada para o centro do círculo. A força centrípeta também é responsável pela aceleração centrípeta, a qual é orientada para o centro da circunferência-trajetória.

Movimento Circular Uniforme (MCU)

No movimento uniforme, o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. No caso particular do movimento circular uniforme, como a trajetória é circular, decorre que o intervalo de tempo de cada volta completa é sempre o mesmo, isto é, de tempos em tempos iguais o móvel passa pela mesma posição. Portanto o MCU é um movimento periódico. Seu período T é o intervalo de tempo de uma volta completa. O número de voltas na unidade de tempo é sua frequência f.

 

Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV)

É aquele que possui velocidade variável e a aceleração angular constante é diferente de zero. Aqui a aceleração é designada pela letra grega gama (γ) e a velocidade angular pela letra ômega (ω). As equações que determinam os MUCV são muito semelhantes às do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).

Aceleração Centrípeta

É ela que provoca a variação da direção do vetor velocidade.

Força centrípeta

É a força resultante que puxa o copro  para o centro da trajetória em um movimento curvilíneo ou circular.

Em todo movimento circular existe uma força resultante na direção radial que atua como força centrípeta, de modo que a força centrípeta não existe por si só. Por exemplo, o atrito entre o solo e o pneu do carro faz o papel da força centrípeta quando o carro faz curvas.

Existe uma força resultante na direção radial que atua como força centrípeta, de modo que a força centrípeta não existe por si só. Por exemplo, o atrito entre o solo e o pneu do carro faz o papel da força centrípeta quando o carro faz curvas. A força gravitacional faz o mesmo papel no movimento de satélites em torno da Terra.

 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - (MCU)

01) (UFCE) Um automóvel se desloca em uma estrada horizontal com velocidade constante de modo tal que os seus pneus rolam sem qualquer deslizamento na pista. Cada pneu tem diâmetro D = 0,50 m, e um medidor colocado em um deles registra uma frequência de 840 rpm.

A velocidade do automóvel é de:

A) 3 π m/s

B) 4 π m/s

C) 5 π m/s

D) 6 π m/s

E) 7 π m/s

Resolução:

- Para encontrar o valor da frequência em Hz, basta dividi-la por 60. Logo, f = 14 Hz.

- O raio do pneu é dado pela metade de seu diâmetro, portanto: R = 0,25 m

- Da relação entre velocidade linear e velocidade angular, temos:

v = w . R

v = 2. π . f . R

v = 2 . π . 14 . 0,25

v = 7 π m/s

Alternativa: E

 

02) (UFPR) Um ponto em movimento circular uniforme descreve 15 voltas por segundo em uma circunferência de 8,0 cm de raio.

A sua velocidade angular, o seu período e a sua velocidade linear são, respectivamente:

A) 20 rad/s; (1/15) s; 280 π cm/s

B) 30 rad/s; (1/10) s; 160 π cm/s

C) 30 π rad/s; (1/15) s; 240 π cm/s

D) 60 π rad/s; 15 s; 240 π cm/s

E) 40 π rad/s; 15 s; 200 π cm/s

Resolução:

A frequência do ponto em movimento é 15 Hz, e o raio da trajetória circular, 8 cm. Sendo assim, temos:

- A velocidade angular: w = 2. π . f = 2 . π . 15 = 30 π Rad/s

- Período (T): é dado pelo inverso da frequência → T = s
                                                                                      f    15

- A velocidade linear: v = w . R → v = 30 π . 8 → v = 240 π m/s

Alternativa: C

 

03) O tacômetro é um equipamento que fica no painel do carro para indicar ao motorista em tempo real qual é a frequência de rotação do motor.

Supondo que um tacômetro esteja indicando 3000 rpm, determine a velocidade angular de rotação do motor em rad/s.

A) 80 π

B) 90 π

C) 100 π

D)150 π

E)200 π

Resolução:

O valor da frequência em rpm, ao ser dividido por 60, é transformado em Hz. Sendo assim, a frequência de rotação do motor é de 50 Hz.

A velocidade angular é dada por

w = 2. π.f

w = 2. π. 50

w = 100 π rad/s

Alternativa: C

 

04) Uma serra circular possui 30 cm de diâmetro e opera com frequência máxima de 1200 rpm. Determine a velocidade linear de um ponto na extremidade da serra.

Adote: π = 3

A) 12 m/s

B) 14 m/s

C) 16 m/s

D) 18 m/s

E) 20 m/s

Resolução:

O raio da serra é metade de seu diâmetro, sendo, portanto, de 15 cm ou 0,15m. O valor da frequência em rpm pode ser dividido por 60 e ser transformado para Hz. Então, temos f = 20 Hz.

Da relação entre velocidade linear e velocidade angular, temos:

v = w . R

v = 2. π . f . R

v = 2 . 3 . 20 . 0,15

v = 18 m/s

Alternativa: D

 

05) Um eucalipto encontra-se plantado perpendicularmente a uma superfície plana. A árvore é cortada junto ao chão e leva 4s para deixar a posição vertical e ficar no chão na posição horizontal.

Determine o valor aproximado da velocidade angular média de queda desse eucalipto.

Adote: π = 3,14

A) 0,30 rad/s

B) 0,40 rad/s

C) 0,50 rad/s

D) 0,56 rad/s

E) 0,70 rad/s

Resolução:

Ao cair, o eucalipto descreve um arco de 90° ou  π  rad/s. A velocidade angular pode ser definida                                                           2

como a razão entre o ângulo percorrido pelo intervalo de tempo. Sendo assim, temos:

w = Δθ
      Δt

w = π
      
      4

w = π1
       2   4

w = π
      8

w = 3,14 ≈ 0,40 rad/s
         8      

Alternativa: B

 

EXERCÍCIOS – PERÍODO / FREQUÊNCIA (MCU)

01) (VUNESP) O tacômetro é o equipamento que mede o giro do motor de um carro e mostra, em tempo real para o motorista, o número de giros por minuto.

Determine a frequência em hertz e o período em segundos para o motor de um carro cujo tacômetro indica 3000 rpm.

A) 50 Hz e 2 x 10 – 2 s

B) 80 Hz e 1,5 x 10 – 2 s

C) 45 Hz e 2,5 x 10 – 2 s

D) 55 Hz e 2,5 x 10 – 2 s

E) 60 Hz e 2 x 10 – 2 s

Resolução:

Para transformar uma frequência dada em rpm para hertz, basta dividir o valor por 60, já que 1 minuto possui 60 s. Portanto, a frequência indicada pelo tacômetro será:

f = 3000 rpm ÷ 60 = 50 Hz

Sabendo que o período é o inverso da frequência, temos:

T = = 0,02 = 2 x 10 – 2
     50

Alternativa: A

 

02) PUC) A respeito do período e da frequência no movimento circular uniforme (MCU), indique o que for correto.

A) O período é diretamente proporcional à frequência de giro de um corpo em MCU.

B) Sabendo que o período de giro do ponteiro dos minutos é de 1 min, podemos dizer que a sua frequência será,

aproximadamente, de 0,017 Hz.

C) Se a frequência do ponteiro dos segundos é de 1 min, podemos calcular a sua frequência aproximada como de 0,017 Hz.

D) A frequência é diretamente proporcional ao período.

E) Um corpo de giro com frequência de 20 Hz possui período igual a 0,02 s.

Resolução:

A frequência do ponteiro dos segundos é exatamente 60 s (1 min). Podemos determiná-la sabendo que ela é o inverso do período, portanto:

f = = 0,0166 ≈ 0,017 Hz
    60

Alternativa: C

 

03) Vunesp) Marque a alternativa que indica o período de revolução de um satélite geoestacionário.

A) 48h

B) 12h

C) 72h

D) 24h

E) 10h

Resolução:

Os satélites chamados de geoestacionários são aqueles que giram sobre um ponto da Linha do Equador e que possuem período igual à rotação da Terra, logo, o período de revolução desses equipamentos é de 24 h.

Alternativa: D

 

04) (Fuvest) O período de translação da lua ao redor da Terra corresponde a 28 dias, sendo assim, determine a porcentagem diária aproximada da translação da lua.

A) 3,6 %

B) 6,5 %

C) 7,5 %

D) 4,0 %

E) 3,0 %

Resolução:

Se determinarmos a frequência de translação da lua, teremos:

f =  1 = 0,035 rotação por dia
     28 dias

Podemos concluir, portanto, que, a cada dia, a lua percorre 3,5% de um 1 giro completo.

Alternativa: A

 

05) (Metodista) Um corredor mantém em uma pista circular uma velocidade constante de 2 m/s e completa uma volta em 80 s.

Determine a frequência de giro do corredor e o tamanho da pista circular.

A) 0,00150 Hz e 180 m

B) 0,0125 Hz e 170 m

C) 0,0125 Hz e 160 m

D) 0,0325 Hz e 180 m

E) 0,0525 Hz e 160 m

Resolução:

O tempo de 80s corresponde exatamente ao período de rotação do corredor. Sabendo que a frequência é o inverso do período, temos:

f = =0,0125 Hz
    80

A partir da equação da velocidade média, podemos encontrar o tamanho da pista:

v = Δs
     Δt

2 = Δs
      80

Δs = 2 . 80 = 160m

Alternativa: C

 

EXERCÍCIOS - (MCUV)

01) (UNESP) Um “motorzinho” de dentista gira com frequência de 2000 Hz até a broca de raio 2,0mm encostar no dente do paciente, quando, após 1,5s, passa a ter frequência de 500Hz. Determine o módulo da aceleração escalar média neste intervalo de tempo.

Resolução:

ω = ωo + y.t

2.Л.f = 2.Л.fo + y.t

2.Л.500 = 2.Л.2000 + y.1,5

1000. Л = 4000.Л + 1,5y

1,5y = -3000.Л

y = -3000.Л/1,5

y = -2000.Л rad/s²

Como a = y.r

Temos que: a = -2000.Л.2.10-3 = 4.Лm/s²

 

02) (PUC) O gráfico a seguir representa a velocidade angular, em função do tempo, de uma polia que gira ao redor de um eixo.

Com base nas informações contidas no gráfico, determine a aceleração angular desta polia e a quantidade de volta que ela dá no intervalo de tempo entre 0 e 40s.

Resolução:

ω = ωo + y.t

80. Л = 0 + y.40

40y = 80. Л

y = 80. Л/40


y = 2. Л rad/s²  -  aceleração angular.

φ = φo + ωo.t + y.t²/2

Δ φ = 0.40 + 2. Л.40²/2

Δ φ = 2. Л.40²/2

Δ φ = 1600.Л rad

Número de voltas = Δ φ/2. Л = 1600/2. Л = 800 = 8,0.10² voltas

 

03) (Fuvest) A velocidade angular de um móvel em trajetória circular é diminuída de 30.π rad/s para 20. π rad/s em um intervalo de tempo igual à 2s. Sabendo que o raio do círculo mede 0,5m e o movimento é uniformemente variado; determine a aceleração escalar deste móvel.

Resolução:

ω = ωo + y.t

20. π = 30. π + y.2

2.y = -10. π

y = -5. π rad/s

a = y.r

a = -5.0,5

a = 2,5m/s²

 

Distância entre o Sol e a Terra

Depois dos artigos superinteressante sobre o sol que fala da temperatura do sol de uma pergunta superinteressante chegamos a outra.

Sabemos que a distância entre a Lua e a Terra é de uns 300 mil quilômetros o que leva a luz entre a lua e a Terra percorrer esta distância em 1 segundo pois a velocidade da Luz é perto de 300 mil km/s.

Poucos sabem mas o tempo que a Luz leva para percorrer a distância entre o SOL e a Terra é de 8 minutos e uns 20 segundos ou seja 500 segundos.

 

Então, qual é a distância entre o sol e a terra?

A distância varia em relação a translação da Terra (movimento elíptico que a terra faz em torno do Sol, não confundir com o movimento de rotação que é o movimento que a terra faz em torno de si mesma).

Para chegar a esse numero só calcular aproximadamente 300 mil km x 500 segundos que é a velocidade da luz x o tempo que ela leva para percorrer o caminho entre o sol e a Terra.

Ou seja o sol esta quase 500 vezes mais longe do que a lua esta da Terra. o que da um resultado médio de 150 milhões de quilômetros.

Resultado médio pois em seu periélio (distância mais próxima do Sol) a Terra se encontra perto dos 147 milhões de quilômetros do Sol e em seu Afélio (maior distância do Sol) por volta de 152 milhões de quilômetros.

Como queremos saber é a distancia média que é de 149,6 milhões de quilômetros. (essa distância varia devido ao movimento elíptico da Terra em volta do Sol).

A primeira tentativa de calculo da distância entre a terra e o Sol aconteceu 200 anos AC onde Aristarque estimou a distância entre 1.7 milhões de km e 2.7 milhões de km, muito bom em relação a capacidade técnica presente naquela época.

Foi Nicolau Copérnico que demonstrou que a Terra gira em torno do Sol criando a teoria do Heliocentrismo no século XVI, e Kepler descobriu que a terra tinha uma trajetória elíptica em torno do Sol calculando a distância dos planetas do Sol.

Mas somente no século XX que chegamos a números próximos da real distância entre a Terra e o Sol

 

MARCO ZERO DO ESTADO DE SÃO PAULO

Inaugurado em 18 de setembro de 1934, o Marco Zero foi uma ideia elaborada vários anos antes, precisamente em 1921, quando o local ainda era conhecido popularmente como “Largo da Catedral” que ainda encontrava-se em obras. O projeto e local de construção do monumento surgiu das mãos do Dr. Américo Netto, à época diretor da Associação Paulista de Boas Estradas (órgão extinto no final dos anos 20).

Entretanto o Marco Zero caiu no esquecimento e só voltou a ser discutido no final de 1933, quando o braço paulista do Touring Clube do Brasil procurou a prefeitura para sugerir a instalação do marco, que foi prontamente aceito.

Totem hexagonal feito em autêntico mármore paulista e com base em granito, o marco tem uma altura que permite a qualquer adulto consultar facilmente a placa de bronze fixada em seu tampo. As laterais do marco possuem direções para 6 importantes pontos do Brasil, cada uma delas com uma ilustração que caracteriza a região mostrada.

Na foto, Minas Gerais, Goiás e Mato Grosso

A cidade de Santos (direção sudeste) é representada por um navio a vapor, o Estado do Paraná (direção sul) por uma Araucária, Rio de Janeiro (direção nordeste) com uma bananeira e o Pão de Açúcar, Minas Gerais (direção norte) com equipamento de mineração, Goiás (noroeste) a bateia usada no garimpo e Mato Grosso (direção sudoeste) com as indumentárias dos bandeirantes.

Em seu tampo, a placa de bronze tem um mapa parcial da Cidade de São Paulo, com o símbolo e a oferta do Touring Club do Brasil, e as principais vias paulistanas daquela época identificadas, como as avenidas Celso Garcia, Paulista e São João, além de locais de interesse público, como o Museu do Ipiranga e a Faculdade de Medicina. Um detalhe curioso a se observar é a ilha, já desaparecida, que havia no rio Tietê. Hoje ali existe o Shopping Center Norte.

Outro ponto importante a salientar sobre o Marco Zero de São Paulo é que ele não só serve como um importante ponto turístico da cidade. Ele primeiramente serve ao propósito de que o próprio nome já indica, representando o centro geográfico do município, de onde todas as medições de distâncias das placas toponímicas paulistanas se iniciam.

É por este motivo que as numerações dos logradouros da cidade são mais baixos no ponto mais próximo ao centro e mais distantes a medida que se afastam dele. Se alguém disser para você ir no número 100 da avenida São João, por exemplo, você já sabe que o 100 fica no ponto mais próximo ao centro, e não no outro lado na região da Barra Funda.

Em 2007 o Marco Zero foi definitivamente tombado pelo órgão municipal responsável pelo patrimônio histórico da cidade, ano também que a obra recebeu uma restauração.

DO MARCO ZERO AO SACI PERERÊ

Quando observamos os belos desenhos que representam as regiões brasileiras nas laterais do marco, não há qualquer menção ao artista. Porém, a obra é fruto do trabalho de um grande ilustrador francês: Jean Gabriel Villin.

Nascido em Amiens, França, em 1906, Jean Gabriel Villin mudou-se para o Brasil ainda jovem, em 1925, para ir trabalhar na cidade de Porto Ferreira (SP) como desenhista em um fábrica de louças. Ele ficaria naquela cidade até 1927, quando veio para a capital atendendo um convite para trabalhar como desenhista no serviço público.

Foi nesta época, quando já estava bem estabelecido em São Paulo, que acabou conhecendo a figura de Monteiro Lobato, que entre 1929 e 1930 o convidou para ilustrar seus livros. Seu primeiro trabalho com o grande escritor brasileiro foi na ilustração do livro Reinações de Narizinho. Villin também é conhecido por ter sido o primeiro a desenhar e imortalizar o personagem Saci.

O nome de Jean Gabriel Villin também é muito conhecido e respeitado na área de desenhos publicitários, onde também destacou-se com muito sucesso. Mesmo sendo de origem francesa, Villin colocava em seus trabalhos muito do folclore e coisas típicas do brasil, dando um cunho totalmente nacional para a nossa propaganda, razão que foi chamado em sua época de “o mais brasileiro dos publicitários brasileiros”. Faleceu em 1979.

Fonte: http://www.saopauloantiga.com.br/marco-zero/

Acessado em: 04/03/2018 às 15:44

 

 

QUESTÕES RESOLVIDAS

Exemplo - 1:

Um macaco que pula de galho em galho em um zoológico, demora 6 segundos para atravessar sua jaula, que mede 12 metros. Qual a velocidade média dele?

Resolução:

S = 12 m

t = 6s

v =?

 

Exemplo - 2: 

Um carro viaja de uma cidade A a uma cidade B, distantes 200km. Seu percurso demora 4 horas, pois decorrida uma hora de viagem, o pneu dianteiro esquerdo furou e precisou ser trocado, levando 1 hora e 20 minutos do tempo total gasto. Qual foi a velocidade média que o carro desenvolveu durante a viagem?

Resolução:

S =200km

4h

v = ?

Observação: mesmo o carro tendo ficado parado algum tempo durante a viagem, para o cálculo da velocidade média não levamos isso em consideração.

 

Exemplo - 3:  

No exercício anterior, qual foi a velocidade nos intervalos antes e depois de o pneu furar? Sabendo que o incidente ocorreu quando faltavam 115 kmpara chegar à cidade B.

Resolução:

Antes da parada:

S = 200 - 115 = 85km

1hora

v =?

Depois da parada:

115 km

Observação: usando a regra de três simples temos: t = 4h - 1h - 1h20min   → 1h40min 

 

 

Exemplo - 4: 

Um bola de basebol é lançada com velocidade igual a 108m/s, e leva 0,6 segundo para chegar ao rebatedor. Supondo que a bola se desloque com velocidade constante.

Qual a distância entre o arremessador e o rebatedor?

Resolução:

se isolarmos S:

 

 

Exemplo - 5: 

Durante uma corrida de 100 metros rasos, um competidor se desloca com velocidade média de 5m/s. Quanto tempo ele demora para completar o percurso?

Resolução:

, se isolarmos t:

 

Exemplo - 6: 

Um carro desloca-se em uma trajetória retilínea descrita pela função S = 20 + 5t (no SI). Com base no enunciado, determine os seis caos solicitados a seguir:

Resolução:

Velocidade constante aplique:  

S = S+  v . t

Caso 1 - A posição inicial                          

Posição inicial 20 m

Caso 2 - A velocidade                               

Velocidade = 5 m/s

Caso 3 - A posição no instante 4s;

S = S+  v . t

S= 20+5t

S = 20+5.4

S = 40 m

Caso 4 - O espaço percorrido após 8s;

S = S+  v . t

S = 20 + 5.  8

S = 60 m

Aplicando a posição final menos a posição inicial temos:

S = 60 – 40

S = 20 m

Caso 5 - O instante em que o carro passa pela posição 80m;

S = S+  v . t

80 = 20 + 5 t

80 – 20 = 5t

60 = 5 t

t = 60 / 5

t = 12 s

Caso 6 - O instante em que o carro passa pela posição 20m.

S = S+  v . t

20 = 20 + 5 t

20 - 20= 5 t

t = 0

 

Exemplo - 7: 

Em um trecho de declive de 10km, a velocidade máxima permitida é de 70km/h. Suponha que um carro inicie este trecho com velocidade igual a máxima permitida, ao mesmo tempo em que uma bicicleta o faz com velocidade igual a 30km/h.

Qual a distância entre o carro e a bicicleta quando o carro completar o trajeto?

Resolução:

Carro:

S = 10 km

v = 70 km/h

t = ?

S = 70 t

10 =70 t

0,14h = t

Observação: usando regra de três simples temos t = 8,57min 

Bicicleta

O tempo usado para o cálculo da distância alcançada pela bicicleta, é o tempo em que o carro chegou ao final do trajeto:

t = 0,14 h

v =30 km/h

t = 0,14 h

S = ?

S = 0 + 30 . (0,14)

S = 4,28 Km

 

Exemplo - 8: 

Um carro, se desloca a uma velocidade de 20m/s em um primeiro momento, logo após passa a se deslocar com velocidade igual a 40m/s, assim como mostra o gráfico abaixo. Qual foi o distância percorrida pelo carro?

Resolução:

Quando o gráfico for V x  t, o deslocamento é igual à área do gráfico.

S =  Área A + Área B

S = 205 + 40 (15-5)

S = 100 + 400

S = 500m

Resposta: a distância percorrida é de 500 m.

 

Exemplo - 9:

(Unicamp/2017) Em 2016 foi batido o recorde de voo ininterrupto mais longo da história. O avião Solar Impulse 2, movido a energia solar, percorreu quase 6480 km em aproximadamente 5 dias, partindo de Nagoya no Japão até o Havaí nos Estados Unidos da América.

A velocidade escalar média desenvolvida pelo avião foi de aproximadamente

A) 54 km/h.

B) 15 km/h.

C) 1296 km/h.

D) 198 km/h.

Resolução:

Observação: como o tempo esta em dias e a velocidade esta em km/k, há necessidade de efetuar a conversão de dias em horas ( 1 dia tem 24 horas). Pelo resultado das alternativas NÃO aplicaremos as dimensões no SI,

Vm = ?

ΔS = 6480

Δt = 5 dias x 24 horas → 120h    

Vm = ΔS/Δt

Vm = 6480 / 120  →  Vm = 54km/h

Alternativa: a

 

Exemplo - 10:

(Enem) Para melhorar a mobilidade urbana na rede metroviária é necessário minimizar o tempo entre estações. Para isso a administração do metrô de uma grande cidade adotou o seguinte procedimento entre duas estações: a locomotiva parte do repouso com aceleração constante por um terço do tempo de percurso, mantém a velocidade constante por outro terço e reduz sua velocidade com desaceleração constante no trecho final, até parar.

Qual é o gráfico de posição (eixo vertical) em função do tempo (eixo horizontal) que representa o movimento desse trem?

  

Alternativas de gráficos da posição em função do tempo que representam o movimento do trem

Resolução

Analisando o enunciado da questão, percebemos que o movimento é dividido em três partes distintas:

Primeiro trecho: … a locomotiva parte do repouso com aceleração constante por um terço do tempo de percurso... Como o movimento é acelerado e o tempo sempre é crescente, o gráfico deve apresentar variação positiva das duas grandezas e ser parabólico.

Segundo trecho: ...mantém a velocidade constante por outro terço... Como a velocidade é constante, o gráfico deve ser uma reta e apresentar variação positiva nos dois eixos;

Terceiro trecho: ...reduz sua velocidade com desaceleração constante no trecho final, até parar. A velocidade reduz, portanto, o eixo da posição apresentará uma variação muito pequena. O gráfico terá novamente o formato de parábola, mas agora voltado para baixo, já que o movimento é retardado.

Alternativa: C

 

Exemplo - 11:

(UFRN) Informações diagnósticas sobre a estrutura do corpo humano podem ser obtidas pela ultrassonografia. Nessa técnica, um pulso de ultrassom é emitido por um transdutor através do corpo e é medido o intervalo de tempo entre o instante da emissão desse pulso e o da recepção dos pulsos refletidos pelas interfaces dos órgãos internos. A figura ao lado representa um exame de ultrassonografia, no qual o transdutor colocado na altura do pescoço de um paciente, cujo diâmetro da artéria carótida se deseja medir, emite pulsos com velocidade de 150.000 cm/s. Mostram-se, também, os tempos em que os pulsos refletidos pela pele do paciente e pelas paredes anterior e posterior da sua carótida foram detectados. É correto afirmar que o diâmetro da carótida do paciente, na altura do pescoço, mede:

 

A) 0,15 cm

B) 1,5 cm

C) 0,25 cm

D) 2,25 cm

Resolução:

Por meio da figura, observamos que o tempo de ida e volta do pulso de ultrassom é de 15 x 10-6 s, para a reflexão na face anterior da carótida, e de 35 x 10 – 6 s, para a reflexão na face posterior da carótida. Portanto, o tempo para atravessar a carótida é a diferença entre esses dois valores e corresponde a 20 x 10-6 s. Na ida e volta, o pulso percorre uma distância correspondente ao dobro do diâmetro. Logo, da definição de velocidade média, temos:

v = 2.d 
      Δt

1,5x105 . 20x10 -6 = 2.d

3 = 2.d

d = 1,5 cm

AlternativaB

 

Exemplo - 12:

O gráfico a seguir mostra as posições em função do tempo de dois ônibus. Um parte de uma cidade A em direção a uma cidade B, e o outro da cidade Bpara a cidade A. As distâncias são medidas a partir da cidade A. A que distância os ônibus vão se encontrar?

Para que seja possível fazer este cálculo, precisamos saber a velocidade de algum dos dois ônibus, e depois, calcular a distância percorrida até o momento em que acontece o encontro dos dois, onde as trajetórias se cruzam.

Calculando a velocidade ônibus que sai da cidade A em direção a cidade B (linha azul)

V = S /t   →   v = 450 / 5     →  v = 90 km/h

Sabendo a velocidade, é possível calcular a posição do encontro, quando t = 3h.

S = S0 + v . t

S = 0 + 90    →    S = 270 km

Resolução: os ônibus se encontraram as 270 km

 

Exemplo - 13:

(Enem/2014) Um professor utiliza essa história em quadrinhos para discutir com os estudantes o movimento de satélites. Nesse sentido, pede a eles que analisem o movimento do coelhinho, considerando o módulo da velocidade constante.

 

Desprezando a existência de forças dissipativas, o vetor aceleração tangencial do coelhinho, no terceiro quadrinho, é

A) nulo.

B) paralelo à sua velocidade linear e no mesmo sentido.

C) paralelo à sua velocidade linear e no sentido oposto.

D) perpendicular à sua velocidade linear e dirigido para o centro da Terra.

E) perpendicular à sua velocidade linear e dirigido para fora da superfície da Terra.

Resolução:

O movimento do coelhinho em torno da Terra é circular e uniforme. Não ocorre variação do módulo da velocidade. Logo, sua aceleração tangencial é nula.

Resposta: A

 

Exemplo - 14:

(Unesp/2010) Nos últimos meses assistimos aos danos causados por terremotos. O epicentro de um terremoto é fonte de ondas mecânicas tridimensionais que se propagam sob a superfície terrestre. Essas ondas são de dois tipos: longitudinais e transversais. As ondas longitudinais viajam mais rápido que as transversais e, por atingirem as estações sismográficas primeiro, são também chamadas de ondas primárias (ondas P); as transversais são chamadas de ondas secundárias (ondas S). A distância entre a estação sismográfica e o epicentro do terremoto pode ser determinada pelo registro, no sismógrafo, do intervalo de tempo decorrido entre a chegada da onda P e a chegada da onda S.

Considere uma situação hipotética, extremamente simplificada, na qual, do epicentro de um terremoto na Terra são enviadas duas ondas, uma transversal que viaja com uma velocidade de, aproximadamente 4,0 km/s, e outra longitudinal, que viaja a uma velocidade de, aproximadamente 6,0 km/s.

Supondo que a estação sismográfica mais próxima do epicentro esteja situada a 1 200 km deste, qual a diferença de tempo transcorrido entre a chegada das duas ondas no sismógrafo?

A) 600 s.

B) 400 s.

C) 300 s.

D) 100 s.

E) 50 s.

Resolução:

Observação: as velocidades estão em km/s e as distâncias em km, Pelo resultados das alternativas a resposta deve ser em s.

(ondas P)

Vm = 4,0 km/s

ΔS = 1200 km

ΔtP = ?

Vm = ΔS/Δt

4,0 = 1200 / ΔtP

Δt4,0 = 1200 km

ΔtP  = 1200 / 4  →  ΔtP = 300 s 

(ondas S)

Vm = 6,0 km/s

ΔS = 1200 km

ΔtS = ?                  

Vm = ΔS/Δt

6,0 = 1200 / ΔtS

Δt6,0 = 1200

ΔtS = 1200 / 6,0 → ΔtS = 200 s

 ΔtP – ΔtS   → 300 – 200 = 100 s

Alternativa: D

 

Exemplo - 15:

(Unesp/2009) O atleta jamaicano Usain Bolt foi um dos grandes protagonistas dos Jogos Olímpicos de Pequim. Ele bateu seu próprio recorde mundial dos 100 metros com o tempo de 9,69 segundos e, na prova dos 200 metros rasos, ele registrou o tempo de 19,3 segundos.

Se Bolt corresse a prova de 200 metros rasos com a mesma velocidade média com que correu a prova dos 100 metros, ele teria completado a prova em

A) 15,4 segundos.

B) 19,4 segundos.

C) 25,5 segundos.

D) 29,3 segundos.

E) 30,4 segundos.

Resolução:

Prova dos 100 metros

Vm = ?

ΔS = 100 m

Δt = 9,69 s    

Vm = ΔS/Δt 

Vm = 100 / 9,96  → Vm = 10,31 m/s  

Prova dos 200 metros

Observação: adotando a velocidade da prova dos 100 m

Vm = 10,31

ΔS = 200 m

Δt = ?                    

Vm = ΔS/Δt

10,31 = 200 / Δt   

Δt 10,31 = 200

Δt = 200 / 10,31  →   Δt = 19,4 s

Alternativa: B

 

Exemplo - 16:

(Unicamp/2016) Drones são veículos voadores não tripulados, controlados remotamente e guiados por GPS. Uma de suas potenciais aplicações é reduzir o tempo da prestação de primeiros socorros, levando pequenos equipamentos e instruções ao local do socorro, para que qualquer pessoa administre os primeiros cuidados até a chegada de uma ambulância.

Considere um caso em que o drone ambulância se deslocou 9 km em 5 minutos. Nesse caso, o módulo de sua velocidade média é de aproximadamente

A) 1,4 m/s.

B) 30 m/s.

C) 45 m/s.

D) 140 m/s.

Resolução:

Observação: a distância esta em km e deve ser transformada para metros,  e tempo esta em minutos e deve ser transformado em segundos.

Vm = ?

ΔS = 9 km           →  9000 m

Δt = 5 minutos     →  300 s

Vm = ΔS/Δt

Vm = 9000 / 300  →  Vm = 30 m/s

Alternativa: B

 

Exemplo - 17:

(ETE/2016) Em 1977, a NASA enviou para o espaço a sonda Voyager I que, após realizar sua missão primária de passar próximo a alguns planetas do Sistema Solar, segue até hoje espaço afora. Atualmente, a sonda já se encontra bastante distante da Terra, a cerca de 20 000 000 000 km de distância. Mesmo a esta distância, a Voyager I se comunica com a Terra utilizando ondas eletromagnéticas que constituem a forma mais rápida de transporte de energia.

Considerando que a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo, em termos de sua ordem de grandeza, é de 1 000 000 000 km/h, então, um sinal transmitido pela Voyager I será recebido aqui na Terra, aproximadamente, após

 

A) 10 horas.

B) 20 horas.

C) 2 dias.

D) 5 dias.

E) 1 mês.

Resolução:

Vm = 1 000 000 000 km/h

ΔS = 20 000 000 000 km

Δt = ?                

Vm = ΔS/Δt

1 000 000 000 = 20 000 000 000 km / Δt

Δt 1 000 000 000 = 20 000 000 000 km

Δt = 20 000 000 000 / 1 000 000 000

Δt = 20 horas

Alternativa: B

 

Exemplo - 18:

(Senai/ 2012) Uma lancha parte de uma ilha e move-se por 2 h com velocidade constante de 20 km/h para oeste e, em seguida, a 10 km/h para norte durante 3h.

A intensidade do deslocamento vetorial e a distância percorrida são, respectivamente, iguais a:

A) 40 km e 80 km.

B) 50 km e 70 km.

C) 60 km e 60 km.

D) 70 km e 60 km.

E) 80 km e 50 km.

Resolução:

Observação: os vetores oeste e norte são perpendiculares, portanto, para calcular o deslocamento vetorial é necessário aplicar Pitágoras.

Vetor oeste

Vmo = 20 km/h

ΔS = ? 

Δt = 2h

Vm = ΔS/Δt

20  =  ΔS / 2

ΔS = 20 . 2      →     ΔS = 40 km

Vetor norte

Vmn = 10 km/h

ΔS = ? 

Δt = 3h

Vm = ΔS/Δt

10  =  ΔS / 3 

ΔS = 10 . 3     →    ΔS = 30 km

Deslocamento vetorial: vetor oeste 40 km e vetor norte 30 km (vetores perpendiculares) aplicando Pitágoras temos resultante igual a 50 km.

Distância percorrida: sentido oeste 40 km  e sentido norte 30 km. Os dois percorreram 70 km.

Alternativa: B

 

Exemplo - 19:

(Unicamp/2015) Os astrônomos estimam que a estrela estaria situada a uma distância d = 9,0 x 1018 m da Terra. Considerando um foguete que se desloca a uma velocidade v = 1,5 x 104 m/s, o tempo de viagem do foguete da Terra até essa estrela seria de

(1 ano ≈ 3,0 x 107 s)

A) 2.000 anos.

B) 300.000 anos.

C) 6.000.000 anos.

D) 20.000.000 anos.

Resolução:

v = 1,5 x 104

d = 9,0 x 1018

t = ?

 v = d / t

1,5 . 104 = d 9,018

1,5 . 104 / 9,018 = d

d = 6,0 . 1014

Observação: 1 ano corresponde a 3, 0 . 107s

3, 0 . 107  --------- 1

6,0 . 1014 ---------  x

3, 0 . 107 x = 6,0 . 1014

Aplicando regra de três temos:

x = 6,0 x 1014 / 3, 0 . 107

x = 2 . 107 anos

Alternativa: D

 

Exemplo - 20:

(Unicamp/2016) A demanda por trens de alta velocidade tem crescido em todo o mundo. Uma preocupação importante no projeto desses trens é o conforto dos passageiros durante a aceleração. Sendo assim, considere que, em uma viagem de trem de alta velocidade, a aceleração experimentada pelos passageiros foi limitada a amax = 0,09g, onde g=10 m/s2 é a aceleração da gravidade.

Se o trem acelera a partir do repouso com aceleração constante igual a amax, a distância mínima percorrida pelo trem para atingir uma velocidade de 1080 km/h corresponde a

A) 10 km.

B) 20 km.

C) 50 km.

D) 100 km.

Resolução:

Vo = 0

máx = 0,09  =  0,9 m/s2

V = 1080 km/h   →   1080 km/h / 3,6 s   →  300 m/s

V = 300 m/s

a = 0,09 . 10 =   09 m/s2

 

Equação de Torricelli

V2 = Vo2 + 2a ΔS

3002 = 02 + 2. 0,9 ΔS

900 = 1,80 S

ΔS = 900 / 1,8   →   ΔS = 50 m   →   50 . 10m  →  50 km

Alternativa: C

 

Exemplo - 21:

(Senai/ 2016) Considere a seguinte situação. Dois colegas A e B, que passeiam de bicicleta pela pista de um parque, decidem fazer algumas verificações sobre conceitos que estudaram em cinemática. Definem que ambos percorrerão a mesma trajetória retilínea, mas, respectivamente, respeitando as equações horárias S1 = 8t e S2 = 100 + 8t - 4t2 . Combinam, ainda, que considerarão as medidas utilizadas, seguindo o Sistema Internacional de unidades (SI).

Nessa situação, pode-se afirmar, corretamente, que esses colegas se encontrarão em qual posição da pista?

A) 26,6.

B) 28,0.

C) 32,0.

D) 40,0.

E) 50,0.

Resolução:

S1 = 8t

S2 = 100 + 8t - 4t2

Achando o valor de em fazendo  S1 = S2

S1 = S2

8t = 100 +8t -4t2

8t – 8t + 100 = -4t2

100 / 4 = t2

25 = t2

t = 5

Substituindo t em S1 ou em S2 obteremos  S1 = 40 e S2 = 40

Alternativa: C

 

Exemplo - 22:

30) (Senai/ 2012) Em um parque de diversões, uma montanha-russa tem o ponto mais alto a 15 m do chão. O carrinho do brinquedo é solto do ponto mais alto.

Desprezando os atritos e considerando g = 10 m/s², a intensidade da velocidade do carrinho quando ele passar pelo ponto a 5 m do chão é igual a

A 15 √2

B) 13 √2

C) 10 √2

D) 5 √3

E) 2 √3

Resolução:

Vo = 0

V = ?

g = 10 m/s2

ΔS = (15 -10)   →   ΔS = 10

Equação de Torricelli

V2 = V2o + 2g ΔS

V2 =  0o2 + 2 .10 . 10

V2 = 200   →    V = √200    →     V = 10 √2

Alternativa: C

 

Exemplo - 23:

(Fuvest/2017) Helena, cuja massa é 50 kg, pratica o esporte radical bungee jumping. Em um treino, ela se solta da beirada de um viaduto, com velocidade inicial nula, presa a uma faixa elástica de comprimento natural L0 = 15 m e constante elástica = 250 N/m.

Note e adote:

Aceleração da gravidade: 10 m/s2.

A faixa é perfeitamente elástica; sua massa e efeitos dissipativos devem ser ignorados.

Quando a faixa está esticada 10m além de seu comprimento natural, o módulo da velocidade de Helena é

A) 0 m/s

B) 5 m/s

C) 10 m/s

D) 15 m/s

E) 20 m/s

Resolução:

Observação: essa questão reque um pouco mais de conhecimento, diria que é uma questão de aprofundamento porque requer conceito de vetoriais e nem sempre o professor resolve questões como essa com seus alunos. Nesse caso é necessário utilizar o conceitos da conservação da energia mecânica.

EB = EA   (referência em B)

M . V2B / 2  +  k . x2 / 2  = mgL 

50/2 . V2B + 250/2 = 50 . 10. 25

 V2B + 500 = 500

 V2B  = 0

 VB = 0

Alternativa: A

 

Exemplo - 24:

(Fuvest/2015) A notícia “Satélite brasileiro cai na Terra após lançamento falhar”, veiculada pelo jornal O Estado de S. Paulo de 10/12/2013, relata que o satélite CBERSͲ3, desenvolvido em parceria entre Brasil e China, foi lançado no espaço a uma altitude de 720 km (menor do que a planejada) e com uma velocidade abaixo da necessária para coloca-lo em órbita em torno da Terra. Para que o satélite pudesse ser colocado em órbita circular na altitude de 720 km, o módulo de sua velocidade (com direção tangente à órbita) deveria ser de, aproximadamente

Note e adote:

raio da Terra = 6 x 103 km

massa da Terra = 6 x 1024 kg

constante de gravitação universal = 6,7 x 10-11m3/(s2kg)

Em torno da Terra. Para que o satélite pudesse ser colocado Em órbita circular na altitude de 720km, o módulo de sua Velocidade (com direção tangente à órbita) deveria ser de, aproximadamente,

A) 61 km/s

B) 25 km/s

C) 11 km/s

D) 7,7 km/s

E) 3,3 km/s

Resolução:

Trata-se de velocidade em uma trajetória circular e sabemos que o que faz com que um objeto realize uma trajetória circular é a Força Centrípeta. Um carro só consegue fazer uma curva devido a Força Centrípeta e  nesse caso a Força Gravitacional é igual a Força Centrípeta.

O movimento do satélite é uniforme e a força gravitacional aplicada pela Terra faz o papel de resultante centrípeta.

FG  =  FCP

GMm / d2 = mV/ d     →     d = R +h = 672 km

v = √GM/d       →      √6.7 . 10-11 . 6 . 1024 / 6, 72. 106  (m/s)

v = √,60 . 106 (SI)

v = 7,7 . 103 m/s

v = 7,7 km/s

Alternativa: D

 

Exemplo - 25:

(UERJ) Foi veiculada na televisão uma propaganda de uma marca de biscoitos com a seguinte cena: um jovem casal está num mirante sobre um rio e alguém deixa cair lá de cima um biscoito. Passados alguns segundos, o rapaz se atira do mesmo lugar de onde caiu o biscoito e consegue agarrá-lo no ar. Em ambos os casos, a queda é livre, as velocidades iniciais são nulas, a altura da queda é a mesma e a resistência do ar é nula.

 

Para Galileu Galilei, a situação física desse comercial seria interpretada como:

A) impossível, porque a altura da queda não era grande o suficiente.

B) possível, porque o corpo mais pesado cai com maior velocidade.

C) possível, porque o tempo de queda de cada corpo depende de sua forma.

D) impossível, porque a aceleração da gravidade não depende da massa dos corpos.

Observação: De acordo com as teorias de Galileu, a queda livre dos corpos depende apenas da aceleração da gravidade do local, portanto, seria impossível que ocorresse a situação descrita no problema.

Resposta: D

 

Exemplo - 26:

(PUCC) Duas bolas A e B, sendo a massa de A igual ao dobro da massa de B, são lançadas verticalmente para cima, a partir de um mesmo plano horizontal e com velocidades iniciais iguais.

Desprezando-se a resistência que o ar pode oferecer, podemos afirmar que:

A) o tempo gasto na subida pela bola A é maior que o gasto pela bola B também na subida;

B) a bola A atinge altura menor que a B;

C) a bola B volta ao ponto de partida num tempo menor que a bola A;

D) as duas bolas atingem a mesma altura;

E) os tempos que as bolas gastam durante as subidas são maiores que os gastos nas descidas.

Observação: A altura que as duas bolas atingirão dependerá apenas de suas velocidades iniciais e da aceleração da gravidade. Como esses dois valores são iguais para as duas bolas, elas atingem a mesma altura.

Resposta: D

 

Exemplo - 27:

(UFMS) Um corpo em queda livre sujeita-se à aceleração gravitacional g = 10 m/s2. Ele passa por um ponto A com velocidade 10 m/s e por um ponto B com velocidade de 50 m/s.

A distância entre os pontos A e B é:

A) 100 m

D) 120 m

C) 140 m

D) 160 m

E) 240 m

Resolução:

g = 10 m/s2
v0 = 10 m/s
v = 50 m/s

Δs =  ?

Pela equação de Torricelli:

V= V02 + 2.g.Δs

50= 102 + 2.10.Δs

2500 = 100 + 20Δs

Δs = 2500 + 100 / 20

Δs = 2400 / 20

Δs = 120 m

Alternativa: B

 

Exemplo - 28:

(PUC-RIO) Um objeto é lançado verticalmente para cima de uma base com velocidade v = 30 m/s. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s2e desprezando-se a resistência do ar, determine o tempo que o objeto leva para voltar à base da qual foi lançado.

A) 3 s

B) 4 s

C) 5 s

D) 6 s

E) 7 s

Resolução:

Observação: vamos calcular e tempo de subida porque sabemos que nesse caso tempo de subida é igual ao tempo de decida

V = 0

Vo = 30 m/s

g = - 10 m/s2

V = Vo + g . t

0 = 30 - 10t

-30 =10t

-30/-10 = t

t = 3s

Esse objeto leva 6 minutos para retornar a base de lançamento.

Alternativa: D

 

Exemplo - 29:

(PUC-RIO) Uma bola é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, e atinge uma altura máxima de 20 m.

Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s², a velocidade inicial de lançamento e o tempo de subida da bola são:

A) 10 m/s e 1s

B) 20 m/s e 2s

C) 30 m/s e 3s

D) 40 m/s e 4s

E) 50 m/s e 5s

Resolução:

V = 0

Vo = ?

g = - 10 m/s2

Δs = 20 m

Equação de Torricelli

V2 = V02 + 2.g.Δs

02 = V02 + 2. -10 . 20

0 = V02  - 400

V02 =   400

V02 = 20 m/s

Função da velocidade

V = 0

Vo = 20 m/s

g = - 10 m/s2

t = ?

V = Vo -  g . t

0 = 20 - 10 . t

t = - 20 / - 10

t = 2 s

Alternativa: B

 

Exemplo - 30:

(Fuvest/2016) Uma gota de chuva se forma no alto de uma nuvem espessa. À medida que vai caindo dentro da nuvem, a massa da gota vai aumentando, e o incremento de massa , em um pequeno intervalo de tempo , pode ser aproximado pela expressão: , em que  é uma constante,  é a velocidade da gota, e , a área de sua superfície.

No sistema internacional de unidades (SI), a constante é

A) expressa em kg.m3

B) expressa em kg.m-3

C) expressa em m3.s.kg-1

D) expressa em m3.s-1

E) adimensional.

Resolução:

Observação: Essa questão reque uma analise dimensional um pouco detalhada, diria que é uma questão difícil. Mas vamos lá rsrs.

Fazendo uma analise dimensional:

Δm . v . S . Δt

m ( ) .LT-1 . L2T

( ) = ML-3  

u ( ) = kg . m-3         ou      u ( ) = kg / m3

Alternativa: B

 

Exemplo - 31:

(Unicamp/2015) Considerando que a massa e as dimensões dessa estrela são comparáveis às da Terra, espera-se que a aceleração da gravidade que atua em corpos próximos à superfície de ambos os astros seja constante e de valor não muito diferente. Suponha que um corpo abandonado, a partir do repouso, de uma altura h = 54 m da superfície da estrela, apresente um tempo de queda t = 3,0 s.

Desta forma, pode-se afirmar que a aceleração da gravidade na estrela é de

A) 8,0 m/s2.

B) 10 m/s2.

C) 12 m/s2.

D) 18 m/s2.

Resolução:

d = 54

g = ?

t = 3 s

d = g . t/ 2

54 = g . 32 / 2

54 = g . 9/ 2

54 . 2 = g 9

108 = g 9

108/9 = g

108/9 = g

g = 12 m/s2

Alternativa: C

 

Exemplo - 32:

(VUNESP) O fabricante informa que um carro, partindo do repouso, atinge 100 km/h em 10 segundos. A melhor estimativa para o valor da aceleração nesse intervalo de tempo, em m/s2, é:

A) 3,0.10-3

B) 2,8

C) 3,6

D) 9,8

E) 10

Resolução

As unidades do exercício devem ser congruentes, logo devemos fazer a transformação de km/h para m/s.

Da definição de aceleração escalar média, temos:

Alternativa: B

 

Exemplo - 33:

O gráfico a seguir representa a velocidade escalar, em função do tempo, para o movimento de uma partícula que está posicionada na origem dos espaços no instante t = 0

Determine:  
a) a aceleração escalar da partícula;
b) a equação horária dos espaços;
c) o deslocamento escalar da partícula;
d) a distância total percorrida pela partícula. 

Resolução:

a)a aceleração escalar é dada pela seguinte equação:

a = ∆V / ∆t 

Observando o gráfico encontramos os valores da variação de velocidade (∆V = V - V0) e da variação de tempo    (∆t = t – t0), assim podemos calcular a aceleração da partícula. 


∆V = -100 – 100 = - 200 m/s 
∆t = 20 – 0 = 20s 

Logo, 

a = -200 / 20 
a = -10m/s2 

b) a equação horária para o movimento uniformemente variado éS = S0 + V. t + at/ 2 

Para termos a equação desta partícula basta substituir as constantes S0, V0 e aceleração. No enunciado temos que a partícula está posicionada na origem, ou seja, S0 = 0. Já sabemos o valor da velocidade inicial (V0 = 100m/s). E no item anterior calculamos a aceleração do movimento a = -10m/s2

Logo

S = 100.t - 10t/ 2 
S = 100 . t - 5t2 

c) o deslocamento escalar é igual a variação de espaço (∆S =S – S0) e podemos encontra-lo calculando a área sob a curva do gráfico velocidade versus tempo. 

Área do primeiro triângulo: 

∆S1 = (100.10)/2 
∆S1 = 500m 

Área do segundo triângulo: 

∆S2 = ( -100 . 10) / 2 
∆S2 = -500m 

Observando o gráfico e calculando as áreas percebemos que o móvel tem um valor de área positivo, ou seja, ele se desloca a favor da trajetória (para frente) e outro valor de área negativo, ou seja, quando o móvel se desloca em sentido oposto a trajetória. 

∆S será a soma destes valores, mas como as áreas são iguais em módulo, ∆S será nulo. 

∆S = ∆S1 + ∆S2 
∆S = 500 – 500 
∆S = 0 

O que significa que o móvel se deslocou 500 metros a frente e depois retornou 500 metros parando no mesmo local que iniciou sua trajetória. 

Não se esqueça de que ∆S é igual a S – S0, e se o móvel saio da posição 0 e depois de percorrer 1000m para no mesmo ponto de origem seu ∆S é zero. 

d) a distância total percorrida pela partícula é igual à soma dos módulos dos dois deslocamentos, ou seja, representa todo o percurso que o móvel perfez. 

Resposta: 1000m. 

 

Exemplo - 34:

Considere duas pessoas, ambas na superfície da Terra, uma na linha do Equador e a outra sobre o Trópico de Capricórnio. Considere, ainda, somente o movimento de rotação da Terra em torno de seu eixo. Com base nessas informações, compare para as duas pessoas:

a) as velocidades angulares;

b) as freqüências;

c) os módulos das velocidades lineares;

d) os módulos das acelerações centrípetas.

Resolução

a) As velocidades angulares serão iguais, pois só dependem do período de rotação da terra, o mesmo para os dois.

b) As freqüências também serão iguais pelo mesmo motivo.

c) Os módulos das velocidades lineares serão diferentes, pois os raios são diferentes:

a velocidade linear é dada por:

Para a pessoa que está na linha do equador a velocidade linear será maior, pois o raio é maior. Para a pessoa que está no trópico de Capricórnio o inverso.

d) a aceleração centrípeta é dada por:

Logo, terão acelerações diferentes, pois os raios são diferentes.

Para a pessoa que está na linha do equador a aceleração centrípeta será maior, pois o raio é maior. Para a pessoa que está no trópico de Capricórnio o inverso.

 

 

Continua...