Estática dos Sólidos

Estática dos Sólidos

Professor Diminoi

ESTÁTICA DOS SÓLIDOS

A Estática é o capítulo da Mecânica que estuda corpos que não se movem, estáticos. A ausência de movimento é um caso especial de aceleração nula, ou seja, pelas Leis de Newton, uma situação em que todas as forças que atuam sobre um corpo se equilibram. E a parte da física que estuda sistemas sob a ação de forças que se equilibram. De acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração destes sistemas é nula. De acordo com a primeira lei de Newton, todas as partes de um sistema em equilíbrio também estão em equilíbrio.

 

ESTÁTICA DOS SÓLIDOS

Estática é a parte da mecânica que estuda os corpos em equilíbrio.

A condição necessária para um corpo estar em equilíbrio é que a resultante de todas as forças que agem sobre ele seja nula.

EQUILÍBRIO = RESULTANTE NULA

Momento (M)

Momento é a ação de uma força para fazer um corpo girar em torno de um eixo. Considere, por exemplo, um parafuso e uma chave. 

Ao aplicarmos uma força F para girar o parafuso estamos executando um momento, também denominado de torque. Neste caso, podemos verificar que a rotação do parafuso não depende apenas da força, mas também da distância. A experiência mostra que se aplicarmos a força longe do eixo de rotação, fica mais fácil girar o parafuso, não sendo necessário fazer muita força. Já quando fazemos a força perto do eixo de rotação, fica mais difícil rotacionar o parafuso, sendo necessário fazer uma força maior.

O momento de uma força é dado por:

M = F . d

O momento pode ser denominado de momento horário quando a força tende a girar o corpo no sentido horário ou momento anti-horário quando a força tende a girar o corpo no sentido anti-horário.

Condições de equilíbrio

Na prática, a resultante nula impede o movimento de translação do corpo (inicialmente em repouso), entretanto pode não impedir o movimento de rotação de um corpo extenso.

Na barra da figura anterior a resultante é nula porém pode existir movimento de rotação. Para não haver rotação é necessário que o momento horário seja igual ao momento anti-horário.

Condições gerais de equilíbrio

Um corpo rígido qualquer somente estará em equilíbrio de for nulo o somatório de todas as forças e o somatório de todos os momentos (torques) que sobre ele atuam.

Um corpo rígido estará em equilibro, nas seguintes condições:

- Repouso

- Movimento retilíneo uniforme

- Movimento de rotação uniforme

O repouso é um caso de equilibro estático. O movimento retilíneo uniforme e o movimento de rotação uniforme, por sua vez, são casos de equilibro dinâmico.

Quando um corpo está em repouso (equilibro estático), o mesmo poderá ser de três tipos: estávelinstável ou indiferente.

O equilíbrio é estável quando o corpo retorna à posição de equilíbrio inicial, caso seja ligeiramente afastado dela.

O equilíbrio é instável quando o corpo, ao ser afastado levemente da posição de equilibro, tende a se afastar mais ainda dela.

Finalmente, tem-se o equilibro indiferente quando o corpo se mantiver em equilibro, qualquer que seja o afastamento que experimente em relação à posição inicial.

MOMENTO DE UMA FORÇA

Até agora estudamos a dinâmica dos movimentos de translação. A dinâmica dos movimentos de rotação só é estudada em cursos de nível avançado pois exige conhecimentos de matemática que não fazem parte do curso de nível médio. No entanto há um caso particular cujo estudo é simples: a estática de rotação, isto é, a condição para que um corpo extenso não sofra rotação.  Para isso precisamos introduzir o conceito de momento de uma força.

Consideremos uma força  atuando em um corpo, como ilustra a Fig. 1.

 

F é o módulo da força e d é a distância do ponto P à reta suporte de  (que é a reta r na figura). A escolha do sinal depende da tendência de rotação produzida por . Em geral adota-se o sinal positivoquando a tendência da força é produzir rotação no sentido anti-horário (Fig. 2) e negativo quando a tendência é produzir rotação no sentido horário (Fig. 3).

No Sistema Internacional, a unidade de momento é o N.m que, dimensionalmente, é idêntica à unidade de trabalho. No entanto, trabalho e momento são grandezas distintas.

Exemplo 1

Uma força  de intensidade F = 20 N é aplicada a um corpo, como mostra a figura, de modo que a distância entre um ponto P e a reta suporte da força é d = 3,0m.

A tendência de  é produzir uma rotação do corpo no sentido anti-horário, em torno de P e, assim, o momento será positivo:

MF = + F . d = (20 N) (3,0m) = + 60 N . m

Observações:

O ponto P é denominado polo.

O momento é também chamado de torque.

Propriedade:    

O momento de uma força depende, obviamente, do polo escolhido. No entanto, temos a seguinte propriedade:

Consideramos n forças. . 

Se MF1 + MF2 + ... MFn = 0

em relação a um polo P, então a soma será também nula em relação a qualquer outro polo.

Suponhamos que um corpo esteja sob a ação de n forças .

 

 

Estática de um Ponto Material.

Para um corpo estar em movimento retilíneo com velocidade constante ou em repouso, o somatório das forças que agem nele deve ser nulo.

 

 

A primeira Lei de Newton diz: que um corpo está em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme se a resultante das forças que atuam sobre ele é nula. Nesse caso dizemos que o corpo está em equilíbrio estático quando o corpo está em repouso.

Força de atrito

É uma força que se opõe ao movimento dos corpos. Ela pode ser estática, se o corpo estiver em repouso, ou dinâmica, para corpos em movimento. ... “A força de atrito é uma força que se opõe ao movimento dos corpos.”

Equilíbrio do Ponto Material

Define-se como ponto material todo corpo cujas dimensões, para o estudo em questão, não são importantes, não interferem no resultado final.Por exemplo, o estudo da trajetória de um atleta de saltos ornamentais na piscina a partir de uma plataforma de 10 m. Se o estudo está focalizado na trajetória do atleta da plataforma até a piscina, e não nos seus movimentos em torno de si mesmo, pode-se adotar o centro de massa do atleta, ignorar seu tamanho e desenvolver o estudo. (Caso outros estudos, dos movimentos do atleta em torno do seu centro de massa, sejam necessários, eles poderão ser realizados posteriormente.)

 

 

 

 

 

 

RESOLVIDOS - TORQUE

01) (Mackenzie-SP)

Uma cancela manual é constituída de uma barra homogênea AB de comprimento L = 2,40 m e massa M = 10,0 kg e está articulada no ponto O, onde o atrito é desprezível. A força F tem direção vertical e sentido descendente, como mostra a figura acima. Considerando a aceleração da gravidade g = 10,0 m/s2, a intensidade da força mínima que se deve aplicar em A para iniciar o movimento de subida da cancela é:

(A) 150 N

(B) 175 N

(C) 200 N

(D) 125 N

(E) 100 N

Resolução:

Pelo fato de a barra ser homogênea, podemos afirmar que o seu peso está concentrado em seu centro. Sendo assim, teremos:

Para que o equilíbrio seja mantido, o torque gerado pela força F, no sentido anti-horário, deve ser exatamente igual ao torque gerado pela força peso, no sentido horário.

τ= τPESO

F . 0,4 = P. 0,8

F . 0,4 = m.g.0,8

F . 0,4 = 10 . 10 . 0,8

F = 80 ÷ 0,4

F = 200 N

A força de 200 N mantém a cancela em equilíbrio, portanto, qualquer força maior que 200 N fará o sistema rotacionar.

Alternativa: C

 

02) (Udesc) Ao se fechar uma porta, aplica-se uma força na maçaneta para ela rotacionar em torno de um eixo fixo onde estão as dobradiças. Com relação ao movimento dessa porta, analise as proposições.

I. Quanto maior a distância perpendicular entre a maçaneta e as dobradiças, menos efetivo é o torque da força.

II. A unidade do torque da força no SI é o N.m, podendo também ser medida em Joule (J).

III. O torque da força depende da distância perpendicular entre a maçaneta e as dobradiças.

IV. Qualquer que seja a direção da força, o seu torque será não nulo, consequentemente, a porta rotacionará sempre.

Assinale a alternativa correta.

(A) Somente a afirmativa II é verdadeira.

(B) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

(C) Somente a afirmativa IV é verdadeira.

(D) Somente a afirmativa III é verdadeira.

(E) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

Resolução:

I: Errada: Quanto maior a distância entre a maçaneta e as dobradiças, maior e mais efetivo será o torque da força;

II: Errada: A unidade joule (J) destina-se à medição de quantidades de energia, portanto, jamais poderá ser utilizada para a determinação do torque;

III: Correta: A força que gera o torque deve ser aplicada perpendicularmente ao eixo de rotação (dobradiças);

IV: Errada: Se a força for paralela ao eixo de rotação (dobradiças), não haverá torque.

Alternativa: D

 

03) Dois garotos estão sobre uma gangorra que se encontra em uma praça. Um dos garotos tem massa de 50 kg e está a 1,5 m do centro do brinquedo. Sabendo que a massa do segundo garoto é de 62,5 kg, determine a distância entre ele e o centro da gangorra para que o brinquedo permaneça equilibrado na posição vertical.

(A) 1,2

(B) 2,0

(C) 1,5

(D) 0,8

(E) 1,0

Resolução:

Para que exista o equilíbrio, o torque gerado pelo peso de cada um dos garotos deve ser o mesmo. Sendo assim, podemos escrever:

Τgaroto 1 = τgaroto 2

P1.x = P2. 1,5

62,5 . 10 . x = 50 . 10 . 1,5

625.x = 750

x = 1,2 m.

O garoto mais pesado está a 1,2 m do centro da gangorra.

Alternativa: A

 

04) Leia as afirmações a seguir:

I – O torque é uma grandeza escalar que possui unidade de medida, definida pelo Sistema Internacional de Unidades, N.m;

II – A força que gera o torque deverá ser aplicada perpendicularmente em relação ao eixo de rotação;

III – Mesmo que a resultante do torque gerado por forças distintas não seja nula, haverá equilíbrio;

IV – A posição ideal para a instalação de maçanetas é no extremo oposto em relação às dobradiças. Nessa posição, a força necessária para girar a porta será a menor possível.

Está correto o que se afirma em:

(A) I

(B) I e II

(C) III e IV

(D) II e IV

(E) II, III e IV

Resolução:

I: Errada – O torque é uma grandeza vetorial;

II: Correta;

III: Errada – Uma das condições de equilíbrio é que a soma dos torques gerados no sistema seja nula;

IV: Correta – Quanto maior a distância em relação ao eixo de rotação, menor será a força necessária para a rotação de um sistema.

Alternativa: D

 

RESOLVIDOS – EQUÍLIBRIO ESTÁTICO DE UM CORPO EXTENSO

05) (PUC-MG) Uma haste, com massa uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento, encontra-se em equilíbrio, na horizontal, apoiada no ponto P, tendo duas massas M e M’ nas suas extremidades, conforme a figura abaixo. Nessas condições, é CORRETO afirmar:

(A) M’ < M
(B) M’ = M
(C) M < M’ < 2M
(D) M’ > 2M

Resolução:

Tomando o ponto P como referência e considerando que a soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido horário é igual à soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido anti-horário, temos:

Phaste . (L/2) + Mg . 2L = M’g . L

M’ = 2M + Phaste/2g

Portanto, M’ > 2M

Alternativa: B


06) (UFSM-RGS) A figura representa uma barra homogênea em equilíbrio horizontal, de massa m e comprimento L, estando uma das extremidades articulada a uma parede. Na extremidade oposta, está suspenso um corpo de massa M, estando essa barra sustentada em sua metade por uma mola de constante elástica K. Nessa situação, a mola está distendida de:

(A) (M/K).g
(B) (2M/K).g
(C) [(M+m)/K].g
(D) [(2M+m)/K].g

Resolução: 
Tomando a articulação  como referência e considerando que a soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido horário é igual à soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido anti-horário, temos:

Mg . L + mg . (L/2) = Kx . (L/2)

 x = (2M+m) . g/K

Alternativa: B

 

07) (Mackenzie-SP) A figura mostra um móbile constituído por duas barras de massas desprezíveis que sustentam os corpos A, B e C por fios ideais. Sendo a massa do corpo A 45 g, a massa do corpo C, que mantém o conjunto em equilíbrio na posição indicada, deve ser igual a:



(A) 10 g.
(B) 20 g.
(C) 30 g.
(D) 40 g.
(E) 50 g.

Resolução: 




mB.g.30 = mA.g.10

mB = mA/3 = 15 gramas.
T = mA.g + mB.g

60.g

 

T.20 = mC.g.30

60.g.20 = mC.g.30

mC = 40 gramas

Alternativa: B


08) (PUC-MG) Na figura desta questão, um jovem de peso igual a 600 N corre por uma prancha homogênea, apoiada em A e articulada no apoio B. A prancha tem o peso de 900 N e mede 9,0 m. Ela não está presa em A e pode girar em torno de B. A máxima distância que o jovem pode percorrer, medida a partir de B, sem que a prancha gire, é:

(A) 1,75 m.
(B) 2,00 m.
(C) 2,25 m.
(D) 2,50 m.

Resolução: 
A máxima distância que o jovem pode percorrer, medida a partir de B, sem que a prancha gire, corresponde ao instante em que a força normal em A torna-se nula. 

Nestas condições, tomando o ponto B como referência e considerando que a soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido horário é igual à soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido anti-horário, temos:

Pprancha x 1,5 = Pjovem x d

900 x 1,5 = 600 x d

d = 2,25 m

Alternativa: C

09) (PUC-MG) Uma placa de publicidade, para ser colocada em local visível, foi afixada com uma barra homogênea e rígida e um fino cabo de aço à parede de um edifício, conforme ilustração.


Considerando-se a gravidade como 10 m/s2, o peso da placa como 200 N, o comprimento da barra como 8 m, sua massa como 10 kg, a distância AC como 6 m e as demais massas desprezíveis, pode-se afirmar que a  força de tração sobre o cabo de aço tem intensidade:
(A) 417 N
(B) 870 N
(C) 300 N
(D) 1200 N
Resolução: 

 Tomando o ponto A como referência:

MPplaca + MPbarra = MT . senB

200 . 8 + 100.4  = T . (6/10).8

1600 + 400 = T . 4,8

T = 2000/4,8

T = 416,66 N

 417 N

Alternativa: A

 

RESOLVIDAS – CORPOS RÍGIDOS

10) Na figura abaixo temos uma barra homogênea AB de peso 80 N, que está em equilíbrio sob ação das forças  e , apoiadas no suporte S, no ponto O.

Sendo = 200 N, qual será a intensidade da força normal  exercida pelo suporte S sobre a barra?

(A) 40 N e 320 N

(B) 60 N e 320 N   

(C) 40 N e 200 N   

(D) 50 N e 200 N  

(E) 200 N e 40 N

Resolução:

Todas as forças que atuam na barra foram colocadas na figura. Como a barra é homogênea, todo o seu peso está em seu centro (centro de gravidade).

Agora vamos aplicar as duas condições de equilíbrio.

1º: A soma de todos os momentos deve ser nula. 

Como não sabemos o valor da força  , vamos escolher a origem O como nosso centro de rotação, assim o momento de uma força da força   se torna nulo.

Como M = +F.d (se o momento de uma força tende a produzir rotação no sentido anti-horário em volta do polo de origem da rotação) e M = -F.d (se o momento de uma força tende a produzir rotação no sentido horário em volta do polo de origem da rotação), 

temos:

MF1 = + F1 .(1) 

MP = - P . (1)

MF2 = - F2 . (3)

Para uma situação de equilíbrio, a soma do momento de todas as forças deve ser igual a zero, lembrando que MFN = 0, pois está no polo de rotação:

MF1 + MP + MF2 + MFN = 0

F1 .(1) - P . (1) - F2 . (3) + 0 = 0

200 . (1) – 80 . (1) - F2 . (3) = 0

200 – 80 – 3F2 = 0

3F2 = 120

F2 = 120/3

F2 = 40 N

Para que a barra esteja em equilíbrio, é necessária outra condição, a resultante das forças também tem que ser nula. Logo:

- F1 - P - F2 + FN = 0

FN = F1 + P + F2

FN = 200 + 80 + 40

FN = 320 N

Alternativa: A

 

11) Na figura abaixo, os dois blocos, A e B, estão em equilíbrio.

Calcule a massa do bloco A, sabendo que a massa do bloco B é 5 kg. Considere  =10m/s².

Resolução:

Como os dois blocos estão em equilíbrio, a resultante do momento de todas as forças deve ser nula:

Se a massa de B é 5 kg, seu peso será:

PB=mB  .g

PB=5 .10

PB=50N

Como o torque resultante tem que ser nulo, escolhendo como polo de rotação a origem da figura acima O, temos:

Lembrando que estamos interessados em calcular a massa e não o peso do bloco A, então:

PA=mA  .g

75 = mA   .10

mA=75/10

mA=7,5 kg

Resposta: a massa do bloco A é 7,5 kg.

 

12) (UFRS) A figura mostra uma régua homogênea em equilíbrio estático, sob a ação de várias forças. Quanto vale a intensidade da força F, em N?

(A) 1

(B) 2

(C) 2,5

(D) 3

(E) 5

Resolução:

Como a régua está em equilíbrio, vamos aplicar a condição de que os momentos resultantes devem ser nulos, tomando como polo de apoio o centro da barra, na posição 15. Logo:

 

13) (UFPA) Uma barra de secção reta uniforme de 200 kg de massa forma um ângulo de  com um suporte vertical. Seu extremo superior está fixado a esse suporte por um cabo horizontal. Uma carga de 600 kg é sustentada por outro cabo pendurado verticalmente da ponta da barra (ver figura). Qual o valor da componente Fx? )

 

(A) 200g N

(B) 250 g √3 N

(C) 300 g √3 N

(D) 400 g √3 N

(E) 7000 g √3 N

(g é o módulo da aceleração da gravidade)

Resolução:

Observe a figura:

Foram colocadas todas as forças na figura, observe que o peso (200 g) da barra e o peso do bloco (600g) já estão em função da aceleração da gravidade (g), ficando de acordo com as opções de respostas dadas no problema.

Vamos aplicar a condição de equilíbrio de que a soma dos momentos de uma força deve ser nula, tomando como polo o ponto A. Antes de disso, temos que encontrar o valor de Y, que é a distância que separa T do polo.

Sabemos que:

Então:

Aplicando a condição de equilíbrio:

Alternativa: E

 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01) Três partículas localizam-se em posições: a (2,4), b (3,-1), c (1,0), d (-5,-2), e (0,0). Sendo a massa destas partículas, respectivamente, 5kg, 16kg, 0,1kg, 0,9kg e 10kg. Qual é o centro de massa deste sistema?

 

Utilizando o princípio da média aritmética ponderada, podemos calcular o centro de massa em cada eixo do plano cartesiano:

Logo CM (1,67 , 0,04)

02) Para abrir uma porta de madeira de um metro de largura é necessário aplicar uma força perpendicular de intensidade 50N na sua extremidade contrária à dobradiça. Ao tentar abrir esta porta empurrando-a pelo seu meio, qual deve ser a intensidade da força perpendicular aplicada?

03) Uma barra homogênea de 5kg e 2m apoiada sob um ponto em uma parede é segurada por um cabo ideal, em um ponto A, distante 1,5m da ponta da barra e há um bloco de massa 1kg preso a outra extremidade da barra. Qual a força aplicada ao cabo para que o sistema esteja em equilíbrio?

Conhecendo as duas condições de equilíbrio de um ponto rígido:

1ª condição:

Mas as forças não estão aplicadas sobre a mesma linha de aplicação, então a força válida é a calculada pela segunda condição de equilíbrio:

2ª condição:

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01) Dado um corpo arbitrário com massa 12kg concentrada em um ponto P ligado a outro de massa 10kg concentrada em um ponto Q ligado por um fio ideal que atravessa uma polia ideal, assim como na figura abaixo. Qual deve ser o coeficiente de atrito para que este sistema esteja em equilíbrio?

Analisando individualmente cada um dos pontos onde há alguma força aplicada:

 

   e

 

No sentido vertical para P:

 

Montando um sistema de equações com as forças aplicadas em cada corpo temos:

Mas para que o corpo esteja em equilíbrio a=0. Então somando o sistema acima temos:

 

02) Dois cabos seguram um bloco de massa 20kg, um deles, com intensidade 20N, forma um ângulo de 45° com a horizontal. O outro, forma um ângulo de 120° partindo da horizontal. Qual a força aplicada a este cabo para que o bloco fique em equilíbrio verticalmente?

Verticalmente:

EXERCÍCIOS COM GABARITO

01) (Fuvest) Um avião, com massa M = 90 toneladas, para que esteja em equilíbrio em voo, deve manter seu centro de gravidade sobre a linha vertical CG, que dista 16 m do eixo da roda dianteira e 4,0 m do eixo das rodas traseiras, como na figura abaixo. Para estudar a distribuição de massas do avião, em solo, três balanças são colocadas sob as rodas do trem de aterrissagem. A balança sob a roda dianteira indica MD e cada uma das que estão sob as rodas traseiras indica MT.

 

Uma distribuição de massas, compatível com o equilíbrio do avião em voo, poderia resultar em indicações das balanças, em toneladas, correspondendo aproximadamente a:

(A) MD = 0 MT = 45

(B) MD = 10 MT = 40

(C) MD = 18 MT = 36

(D) MD = 30 MT = 30

(E) MD = 72 MT = 9,0

 

02) (UECE) Duas forças concorrentes, ortogonais, de módulos 6 N e 8 N, respectivamente, admitem resultante de intensidade:

(A) 14 N

(B) 10 N

(C) 7 N

(D) 2 N

(E) NRA.

 

03)  

 

GABARITO

01C – 02B – 

 

 

Continua...