Professor Diminoi
Operações com radicais
As operações com radicais, envolvendo adição e subtração, são solucionadas identificando os radicais semelhantes e operando os coeficientes.
- Obter o resultado referente à adição de raízes só é possível quando os radicais são semelhantes

Quando falamos de raízes na matemática, sempre devemos nos lembrar que o índice da raiz muda, pois ela pode ser do tipo quadrada, cúbica e de muitos outros tipos.

Observação: para que possamos realizar operações com radicais na adição e na subtração, é necessário que o radical seja o mesmo.

Para realizar operações com radicais na adição e na subtração devemos, primeiramente, verificar se os radicais são semelhantes.
Para que o radical de duas ou mais raízes sejam semelhantes é preciso que:
- o índice e o radicando sejam idênticos.
- a única parte que pode ser diferente é o coeficiente que acompanha o radical.

Leitura de radical
Exemplo

Partes de um radical
E fundamental conhecer a estrutura e a nomenclatura das partes de uma raiz

Exemplo
Exemplo
Operações com radicais
As operações com radicais, envolvendo adição e subtração, são solucionadas identificando os radicais semelhantes e operando os coeficientes.
Quando falamos de raízes na matemática, sempre devemos nos lembrar que o índice da raiz muda, pois ela pode ser do tipo quadrada, cúbica e de muitos outros tipos.
Para que possamos realizar operações com radicais na adição e na subtração, é necessário que o radical seja o mesmo. Sendo assim, torna-se fundamental conhecer a estrutura e a nomenclatura das partes de uma raiz.

Propriedades da Radiciação
As propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais. Confira a seguir.

Propriedade 1
Já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, todo radical pode ser escrito na forma de potência.
Exemplo

Propriedade 2
Multiplicando-se ou dividindo-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.
Exemplo
Exemplo

Propriedade 3
Na multiplicação ou divisão com radiciais de mesmo índice realiza-se a operação com os radicandos e mantém-se o índice do radical.

Radiciação e Potenciação
A radiciação é a operação matemática inversa da potenciacao. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação, que tem como resultado a raiz proposta.
Observacao: 
Note que se o radicando (x) é um número real e o índice (n) da raiz é um número natural, o resultado (a) é a raiz enésima de x se aⁿ = x.

Exemplos

Racionalização de Denominadores
A racionalização de denominadores consiste em transformar uma fração, que apresenta um número irracional no denominador, em uma fração equivalente com denominador racional.

Raiz quadrada no denominador
Neste caso, o quociente com o número irracional √5  no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante √5.

Raiz com índice maior que 2 no denominador
Neste caso, o quociente com o número irracional  ⁵√9 no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante ⁵√3³, cujo expoente (3) foi obtido pela subtração do índice (5) do radical pelo expoente (2) do radicando.

Adição ou subtração de radicais no denominador
Neste caso, utilizamos o fator racionalizante √3 + √3 para eliminar a radical do denominador temos:
(a + b) . (a – b) = a² – b²

Soma e Subtração
Para somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam índice e radicando iguais.

Radicais semelhantes
Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes.

Radicais semelhantes após simplificação
Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior.

Radicais não são semelhantes
Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração.

Multiplicação e Divisão
Radicais com mesmo índice
Repete a raiz e realiza a operação com os radicandos.


Radicais com índices diferentes
Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois realizar a operação com os radicandos.


OUTROS EXEMPLOS

Operações com radicais
As operações com radicais, envolvendo adição e subtração, são solucionadas identificando os radicais semelhantes e operando os coeficientes.

Quando falamos de raízes na matemática, sempre devemos nos lembrar que o índice da raiz muda, pois ela pode ser do tipo quadrada, cúbica e de muitos outros tipos.

Para que possamos realizar operações com radicais na adição e na subtração, é necessário que o radical seja o mesmo. Sendo assim, torna-se fundamental conhecer a estrutura e a nomenclatura das partes de uma raiz.

Propriedades da radiciação
As propriedades da radiciação servem para simplificar e solucionar cálculos que envolvem raízes.

1 - Raízes de mesmo índices

Essa propriedade mostra que a raiz de um produto é o produto das raízes.

2 -  Cálculo de Raiz da raiz
Para calcular a raiz da raiz, conserve o radicando e multiplique o índice.

3 -  Potenciação de raiz

4 -  Divisão de raízes de mesmo índice


Para realizar operações com radicais na adição e na subtração devemos, primeiramente, verificar se os radicais são semelhantes.
Para que o radical de duas ou mais raízes sejam semelhantes.
- é preciso que o índice e o radicando sejam idênticos.
- a única parte que pode ser diferente é o coeficiente que acompanha o radical.

Exemplos de operações de adição e subtração com radicais:


 

 

 

Resolucao


 

 

 

d) Resolva a seguinte expressão numérica com radicais:

Resolucao

 
Exemplos resolvidos
e) Resolva a expressao abaixo

Resolucao:
Como dito acima, operaremos apenas os coeficientes: – 2 + 1 – 3 = – 4.


f) Resolva a expressao abaixo

Resolucao:
Subtrairemos os coeficientes 3 e – 1/2 para determinar a diferença dos radicais:


g) Resolva a expressao abaixo

Resolucao:
Operaremos os coeficientes fracionários:


h) Resolva a expressao abaixo

Resolucao:
Como já vimos, só podemos somar ou subtrair radicais de mesmo radicando e mesmo índice. Por essa razão, vamos organizar a expressão, colocando em evidência cada radical semelhante:


i) Resolva a expressao abaixo

Resolucao:
Reorganizaremos também a expressão, agrupando radicais semelhantes e operando seus respectivos coeficientes:


Exercícios sobre raiz quadrada
01) Um terreno possui área igual a 196 m². Sabendo que esse terreno tem formato de um quadrado, então os seus lados possuem medida igual a:
(A) 12 m.
(B) 13 m.
(C) 14 m.
(D) 15 m.
(E) 16 m.
Resolucao
A área de um quadrado é igual ao lado ao quadrado, então, para encontrar o valor do lado, vamos calcular a raiz quadrada da área do terreno.
Para calcular a raiz quadrada de 196, vamos fatorar esse número:

Então, temos que:
Alternativa C

02) Dos números abaixo, marque aquele que possui uma raiz quadrada exata.
(A) 600
(B) 215
(C) 144
(D) 110
(E) 70
Resolucao
Analisando as alternativas, a única que é formada por um quadrado perfeito é a alternativa “c”, pois temos que 12² = 144, ou seja, √144 = 12. As demais alternativas não são raízes exatas.
Alternativa C

03) O valor da expressão algébrica a seguir é:
√4+√16 – √25 ×√9
(A) – 9.
(B) – 6.
(C) – 5.
(D) – 4.
(E) – 2.
Resolucao
Resolvendo a expressão, temos que:
√4+√16 – √25 ×√9
2 + 4 – 5 × 3
6 – 15
– 9
Alternativa A

04) (Cefet/RJ 2014) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45?
(A) 2700
(B) 2800
(C) 2900
(D) 3000
Resolucao
Seja x o número procurado, temos que:

Alternativa A

05) O valor da expressão numérica a seguir é:

(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
Resolucao
Realizando o produto, temos que:

Alternativa A

06) Qual é a raiz quadrada de 5184?
(A) 42
(B) 58
(C) 68
(D) 72
(E) 88
Resolucao
Fatorando 5184, temos que:

Então, podemos fazer o seguinte cálculo:

Alternativa D

07) Analise as afirmativas a seguir:
I - A raiz quadrada de 1500 é menor que 38.
II – A raiz quadrada de 190 é maior que 13.
III – A raiz quadrada de 0 é igual a 0.
Marque a alternativa correta.
(A) Somente a afirmativa I é verdadeira.
(B) Somente a afirmativa II é verdadeira.
(C) Somente a afirmativa III é verdadeira.
(D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
(E) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Resolucao
I → Falsa, pois sabemos que 38 · 38 = 1.444, logo a raiz de 1500 é maior que 38.
II → Verdadeira, pois sabemos que 13 · 13 = 169, logo a raiz de 190 é maior que 13.
III → Verdadeira, pois a raiz de 0 é 0.
Alternativa E

08) (Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, são aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA.
(A) 35
(B) 24
(C) 25
(D) 17
(E) 49
Resolucao

Então, temos que:
√625 = √5⁴
√625 = 5²
√625 = 25
Alternativa C

09) Qual é o valor da simplificação da expressão a seguir?

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Resolucao

Alternativa C

10) Sabendo que √x = 9, então o valor da terça parte de x é:
(A) 81
(B) 72
(C) 36
(D) 27
(E) 9
Resolucao
√x = 9
√x² = 9²
x = 81
Como queremos a terça parte de x então 81: 3 = 27.
Alternativa D

11) Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir.
I → Não é possível calcular a raiz quadrada de número negativo.
II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos os quadrados perfeitos menores que 20.
III → A raiz quadrada de 8 é igual a 4.
As afirmativas são, respectivamente:
(A) V, V e V.
(B) F, F e F.
(C) F, F e V.
(D) V, V e F.
(E) V, F e V.
Resolucao
I → Verdadeira.
II → Verdadeira.
II → Falsa, pois 4 é raiz quadrada de 16, e não de 8.
Alternativa D

12) (IFG 2019) Os babilônicos talvez tenham usado a fórmula abaixo para obter aproximações interessantes de raízes quadradas de números não quadrados perfeitos.

Atribuindo a = 4/3 e b = 2/9 nessa fórmula, é correto afirmar que obtemos a aproximação:

Resolucao
Vamos substituir o valor de a e b:

Alternativa A

Exercícios sobre cálculo de raízes por meio de fatoração
13) Qual é a raiz cúbica de 3375?
(A) 12
(B) 13
(C) 14
(D) 15
(E) 16
Resolucao
Para calcular essa raiz, utilizaremos o método da fatoração:

Em vez de multiplicar todos os fatores obtidos, como é feito para encontrar o mínimo múltiplo comum, reescreva esses fatores agrupando-os em potências de 3 sempre que possível, como foi feito acima.
Para finalizar, substitua 3375 por 33·53 no radical para obter a seguinte raiz e prossiga utilizando as propriedades dos radicais.

Alternativa D

14) Em função de √2, qual é o resultado da expressão a seguir?

(A) 22√2
(B) 16√2
(C) 32√2
(D) 21√2
(E) 18√2
Resolucao
Primeiramente, decomponha 2048 e 512. Após isso, reescreva os fatores primos em potências de 2, se possível.

Por fim, utilize as mesmas propriedades do exercício anterior para simplificar os cálculos e subtraia os resultados.

Alternativa B

15) Quais são as raízes da equação x² + 16x – 36 = 0?
(A) 2 e 3
(B) 20 e 20
(C) 2 e 20
(D) 20 e – 20
(E) 2 e – 18
Resolucao
Utilizando o método de Bhaskara, calcularemos o discriminante:

Tendo em vista que precisaremos calcular a raiz de 400 para usar seu resultado na fórmula de Bhaskara, seguem os respectivos cálculos:

Agora resta apenas calcular as raízes:

Dessa maneira, as raízes são 2 e –18.
Alternativa E

16) Um lote quadrado possui 1600 m² de área. Qual é a medida do comprimento desse lote quadrado?
(A) 40 m
(B) 42 m
(C) 44 m
(D) 46 m
(E) 48 m
Resolucao
A medida do lado de um quadrado sempre pode ser obtida a partir da raiz quadrada de sua área. Portanto, basta calcular a raiz quadrada de 1600 para obter a medida em questão. Utilizando o método da fatoração, teremos:

Para finalizar, substitua 1600 no radical pelo produto encontrado na fatoração anterior, como ilustrado na imagem seguinte:

Portanto, o comprimento do lote é 40 m.
Alternativa A


Continua ....