REGRA DE TRES GRANDEZA DIRA/INVRS

Professor Diminoi
 
Regra de Três Simples e Composta
A regra de três é um processo matemático para a resolução de muitos problemas que envolvem duas ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

Nesse sentido, na regra de três simples, é necessário que três valores sejam apresentados, para que assim, descubra o quarto valor.
Em outras palavras, a regra de três permite descobrir um valor não identificado, por meio de outros três.

A regra de três composta, por sua vez, permite descobrir um valor a partir de três ou mais valores conhecidos.

Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, o aumento de uma implica no aumento da outra na mesma proporção.

Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, o aumento de uma implica na redução da outra.

Exercícios resolvido: Regra de Três Simples / grandezas diretamente proporcional e inversamente proporcional
01) Com uma área  de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida?
Resolução:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que, aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais.
Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Conclusão: a energia produzida será de 500 watts por hora.

02) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Resolução:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que, aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais.
Assim, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Conclusão: o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

03) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Resolução:
Observe que, aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais.
Conclusão; a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

04) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas por dia, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Resolução:
Observe que, diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais.

05) Para fazer o bolo de aniversário utilizamos 300 gramas de chocolate. No entanto, faremos 5 bolos. Qual a quantidade de chocolate que necessitaremos?
Resolução:
Inicialmente, é importante agrupar as grandezas da mesma espécie em duas colunas, a saber:
1 bolo             300g
5 bolos            x
Nesse caso, x é a nossa incógnita, ou seja, o quarto valor a ser descoberto. Feito isso, os valores serão multiplicados de cima para baixo no sentido contrário:
1x = 300 . 5
1x = 1500 g

Conclusão: para fazer os 5 bolos, precisaremos de 1500 g de chocolate ou 1,5 kg.
Observação: note que trata-se de um problema com grandezas diretamente proporcionais, ou seja, fazer mais quatro bolos, ao invés de um, aumentará proporcionalmente a quantidade de chocolate acrescentado nas receitas.

06) Para chegar em São Paulo, Lisa demora 3 horas numa velocidade de 80 km/h. Assim, quanto tempo seria necessário para realizar o mesmo percurso numa velocidade de 120 km/h?
Resolução:
Da mesma maneira, agrupa-se os dados correspondentes em duas colunas:
80k/h                  3h
120km/h             x
Observe que ao aumentar a velocidade, o tempo do percurso diminuirá e, portanto, tratam-se de grandezas inversamente proporcionais.
Observação: o aumento de uma grandeza, implicará na diminuição da outra. Diante disso, invertemos os termos da coluna para realizar a equação:
120km/h             3h
80km/h                x
120x = 240
x = 240/120
x = 2 horas
Conclusão:  para fazer o mesmo trajeto aumentando a velocidade o tempo estimado será de 2 horas.

07) os números 6 e 10 são diretamente proporcionais a 12 e x respectivamente.
Resolução:
Nessas condições, vamos encontrar o valor de x que torne essa afirmação verdadeira.

08) Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães?
Resolução:
Conclusão: para fazer 18 pães precisaremos de 1,5 kg de farinha de trigo.

09) Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirão a mesma casa em quanto tempo?
Resolução:
Conclusão: se reduzirmos o número de pedreiro a dois, teremos a obra concluída em 180 dias.

10) Cada aluno da sala recebe diariamente no lanche duas laranjas. A turma tinha 20 alunos e gastavam-se, consequentemente, 40 laranjas por dia, mas a classe aumentou para 45. Quantas laranjas são necessárias agora?
Resolução:
20 – 40
25 – x
Com isso, fazemos uma multiplicação cruzada: 20 x = 25.40
20 x = 1000
X = 1000/20 = 25

11) Doze operários levam 60 dias para terminar a obra. 6 deles, no entanto, pediram demissão, restando apenas 6 para terminar. Quanto tempo a obra levará para ser construída?
Resolução:
Nesse caso, antes de fazer a multiplicação cruzada, devemos inverter uma das frações, confira:
12 – 60
6 – x
6 x = 720
X = 120

12) Para fazer 12 pães, usamos 1 quilo de farinha de trigo, quantos quilos serão necessários para fazer 18 pães?
Resolução:
Nesse caso, temos uma regra de três diretamente proporcional. Para fabricar os 18 pães, vai ser necessária mais farinha.
1 kg – 12 pães
X kg – 18 pães
12 x = 18
X= 1,5 kg.

13) Uma casa pequena pode ser construída por 4 pedreiros em 90 dias, mas apenas dois pedreiros foram contratados. Quanto tempo levarão para construir essa mesma casa?
Resolução:
Nesse caso, 4 pedreiros construirão a casa mais rapidamente e, ao reduzirmos os pedreiros, o tempo para ser construída será maior. Então, trata-se de uma regra de três inversamente proporcional. Para resolver, uma das frações deve ser invertida. Confira:
4 pedreiros – 90 dias
2 pedreiros – x dias
90.4 = 2x
360 = 2x
X = 360/2
X = 180 dias.

14) Para a construção de um muro de 17 m², precisamos de 3 trabalhadores. Quantos trabalhadores precisaremos para construir um muro de 51 m²?
Resolução:
Área              Trabalhadores
17 m²                    3
51 m²                    x
17 x = 3 . 51
X = 153/17
X = 9
Conclusão: serão necessários, portanto, 9 trabalhadores para construir 51 m² de muro.

Exercício Regra de Três Composta
15) Para ler os 8 livros indicados pela professora para realizar o exame final, o estudante precisa estudar 6 horas durante 7 dias para atingir sua meta.
Porém, a data do exame foi antecipada e, portanto, ao invés de 7 dias para estudar, o estudante terá apenas 4 dias. Assim, quantas horas ele terá de estudar por dia, para se preparar para o exame?
Resolução:
Primeiramente, agruparemos numa tabela, os valores fornecidos acima:
Livros                horas            Dias
8                         6                    7
8                         x                    4
Observe que ao diminuir o número de dias, será necessário aumentar o número de horas de estudo para a leitura dos 8 livros.
Portanto, tratam-se de grandezas inversamente proporcionais e, por isso, inverte-se o valor dos dias para realizar a equação:
Livros                horas            Dias
8                         6                    4
8                         x                    7
6/x = 8/8 . 4/7
6/x = 32/56 = 4/7
6/x = 4/7
4 x = 42
x = 42/4
x = 10,5 horas
Conclusão: o estudante precisará estudar 10,5 horas por dia, durante os 4 dias, a fim de realizar a leitura dos 8 livros indicados pela professora.

16) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas?
Resolução:
Conclusão: Com 15 homens, serão construídas 50 máquinas em 20 dias.

17) Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho?
Resolução:
Conclusão: com 7 operários, em 9 dias serão produzidas 840 peças.

18) Oito homens em uma fabrica, levam 12 dias para montar 16 máquinas. Quantos dias, nas mesmas condições, 15 homens levarão para montar 50 máquinas?
Resolução:
Homens          Dias         Maquina
8                      12                16
15                    12                16
240 x = 12. 400
240 x = 4800
X = 20.
Resposta: com 15 homens, 50 máquinas levarão 20 dias para serem construídas.

19) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?
Resolução:
Hora           caminhões          volume
8                   20                        160
5                    x                          125
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Conclusão: serão necessários 25 caminhões.

20) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Resolução:
Homens         carrinhos         dias
8                        20                  5
4                        x                    16
Observe que, aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:
Conclusão: serão montados 32 carrinhos.

21) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Resolução:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostrado abaixo:
Conclusão: para completar o muro serão necessários 12 dias.

Questões ENEM/Vestibular
22) (ENEM) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2kg de massa corporal a cada 8 horas.
Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de:
(A) 12 kg.
(B) 16 kg.
(C) 24 kg.
(D) 36 kg.
(E) 75 kg.
Resolução:
Nesse caso, temos duas grandezas importantes: as gotas e a massa da criança. Observe que o intervalo de horas de ministração do medicamento não é relevante. Vamos relacionar as grandezas em uma tabela:
Vamos analisar: as grandezas são direta ou inversamente proporcionais? Para simplificar essa questão, colocaremos setas na tabela sempre apontando para os maiores valores. Se as setas possuírem a mesma direção, teremos grandezas diretamente proporcionais; mas se estiverem invertidas, teremos grandezas inversamente proporcionais.
Podemos concluir que as grandezas são diretamente proporcionais, pois as duas setas têm a mesma direção. Observe o “x” em vermelho na tabela. Essa indicação nos mostra que faremos uma multiplicação cruzada.
5 = 2
30   x 
Com a multiplicação cruzada, chegamos à seguinte equação:
5 · x = 2 · 30
5 · x = 60
x = 60
      5
x = 12 kg
Alternativa: A

23) (ENEM) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m³. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a
(A) 2.
(B) 4.
(C) 5.
(D) 8.
(E) 9.
Resolução:
Temos aqui três grandezas: a capacidade do reservatório, a quantidade de ralos e o tempo em horas. Vamos relacionar essas grandezas em uma tabela:
Agora verificaremos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Novamente colocaremos setas na tabela, sempre apontando para os maiores valores.
Temos duas grandezas diretamente proporcionais (capacidade e ralos) e uma inversamente proporcional (tempo). Sempre que houver valores inversamente proporcionais, eles deverão ser “invertidos”. Para montar a equação, colocaremos os valores da coluna “ralos” iguais ao produto da coluna “capacidade” pelo inverso da coluna “tempo”, isto é:
ralos = capacidade · “inverso de tempo”
6 = 900 . 4
x    500   6
Simplificando a fração ⁹⁰⁰/₅₀₀ por 100, e a fração ⁴/₆ por 2, teremos:
6 = 9 . 2
x    5   3
6 = 18
x    15
Faremos agora a multiplicação cruzada:
18 · x = 6 · 15
18 · x = 90
x = 90
     18
​x = 5 ralos
Alternativa: C

24) (PUC) Quando colocamos um objeto de 10 kg na extremidade de uma mola, verificamos que ela passa a ter o comprimento de 42 cm. Ao colocarmos um objeto de 20 Kg na extremidade desta mesma mola, qual passará a ser seu comprimento?
Resolução:

25) (Metodista) Dona Margarida toma remédios para osteoporose que só são encontrados nos Estados Unidos. Quando a cotação do dólar era R$1,20, ela gastava R$240,00 por mês com os remédios. Quando o dólar estiver cotado a R$1,95, quantos reais Dona Margarida vai gastar por mês para comprar esses remédios?
Resolução:
Conclusão:  o gasto em reais seria de R$390,00.

26) (Fuvest – SP) Se 5 máquinas funcionando 16 horas por dia levam 3 dias para produzir 360 peças, então 4 máquinas iguais às primeiras devem funcionar quantas horas por dia para produzir 432 peças em 4 dias?
Resolução:
Aqui comparamos a grandeza que tem a variável com as demais, levando em conta que flechas de mesmo sentido indicam grandezas diretamente proporcionais e, de sentido contrário, inversamente proporcionais.
A seguir, igualamos a fração que contém a variável ao produto das demais, invertendo aquelas que têm flechas viradas para baixo.

27) (ENEM) Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte:
Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em 20 minutos.
Meia hora de supermercado: 100 calorias.
Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias.
Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos.
Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos.
Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.
Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias.
A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades? 
(A) 50 minutos.
(B) 60 minutos.
(C) 80 minutos.
(D) 120 minutos.
(E) 170 minutos.
Resolução:
Para resolver essa questão, é preciso verificar em que situações será necessário o cálculo da regra de três, visto que em alguns casos já estão sendo gastas 200 calorias. 
Vamos começar pela primeira informação: “agachamentos: 100 calorias são gastas em 20 minutos”. Queremos saber em quanto tempo serão gastas 200 calorias, logo:
100 calorias = 20 minutos
200 calorias =     x           
100.x = 200 . 20 
100 x = 4000
x =  4000 / 100
x = 40 minutos
Portanto, no agachamento, é necessário gastar 20 minutos a mais.
Segunda informação: “Meia hora de supermercado: 100 calorias”. Façamos a multiplicação cruzada:
100 calorias = 30 minutos
200 calorias =        x        
100.x = 200 .30 
100 x = 6000
x =  6000 / 100
x = 60 minutos
Portanto, no supermercado, é necessário gastar 30 minutos a mais.
Terceira e quarta informação: “Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias” e “Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos”. Como já estão sendo gastas 200 calorias, não é preciso aumentar o tempo.
Quinta informação: “Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos”. Então:
150 calorias = 30 minutos
200 calorias = x        
150.x = 200 .30 
150 x = 6000
x =  6000 / 150
x = 40 minutos
Portanto, para tirar o pó dos móveis, é necessário gastar 10 minutos a mais.
Sexta informação: “Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias”. Aqui também não é necessário fazer nenhum cálculo, visto que já estão sendo gastas 200 calorias. 
Portanto, o tempo gasto a mais será de 20 + 30 + 10 = 60 minutos.
Alternativa: B

28) (Unifor–CE) Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? 
Resolução:
Resposta: as três impressoras produziriam 2000 panfletos em 160 minutos, que correspondem há 2 horas e 40 minutos.

29) (Unifor–CE) Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.
Resolução:
Resposta: o número de páginas a serem ocupadas pelo texto respeitando as novas condições é igual a 18.

31) (UFRGS-RS) Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura?
Resolução:
Resposta: serão necessários 150 kg de fios para produzir uma maquete de fazenda de 350 m com 120 cm de largura. 



Continua...